Тема 13. Анализ параметрических цепей

План лекции

1. Общие понятия о параметрических цепях

2. Импульсная характеристика и передаточная функция параметрической цепи.

3. Энергетика цепей с параметрическими реактивными элементами

4. Параметрический резонанс.

5. Параметрические усилители.

Электрические системы, в которых хотя бы один из параметров (R, L или C) является переменным во времени, называется цепями с переменными параметрами, называется цепями с переменными параметрами, или параметрическими цепями. Если параметры зависят только от времени и не зависит от режима работы (т.е. т i или U), система является линейной.

С помощью параметрических систем, в которых переменным является активное сопротивление, могут осуществляться, например, такие преобразования сигналов: детектирование, выпрямление, амплитудная модуляция, преобразование частоты и др.

В цепях с переменными реактивными элементами, способными запасать и отдавать энергию, при определенных условиях могут происходить усиление и генерация колебаний. Это связано с появлением в системе отрицательного сопротивления, описывающего формально физический процесс внесения энергии в колебательную систему за счет работы сил, изменяющих параметр. Появление отрицательного сопротивления свидетельствует о наличии параметрической регенерации колебаний данной частоты. Под регенерацией понимается процесс частотного восполнения (восстановления) теряемой в системе энергии.

Математическое описание процессов, происходящих в параметрических цепях, сводится к линейным алгебраическим или дифференциальным уравнением с переменными (во времени) коэффициентами. В силу линейности цепей, связь между входными и выходными сигналами в них определяется с помощью импульсной характеристики g(t) (метод интеграла наложения) или с помощью комплексной передаточной функции

Для определения импульсной характеристики g(t, t), где t - время воздействия, t - время появления и действия отклика, непосредственно по заданным параметрам цепи необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Чтобы проанализировать методику нахождения g(t, t), рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка

  (1)

где f(t) - воздействие, y(t) - отклик.

По определению импульсная характеристика является откликом цепи на одиночный дельта-импульс d(t-t), подаваемый на вход в момент t=t. Из этого определения следует, что если в правой части уравнения (1) положить f(t)= d(t-t), то в левой части можно принять y(t)= =d(t,t). Таким образом, приходим к уравнению

  (2)

Т.к. правая часть (2) равна нулю всюду, кроме точки t=t, функцию g(t) можно искать в виде решения однородного дифференциального уравнения

(3)

при начальных условиях, вытекающих из уравнения (2), а также из условия, что к моменту приложения импульса d(t-t)  в цепи отсутствуют токи и напряжения.

В уравнении (3) переменные разделяются:

Откуда

       (4)

где  - значения импульсной характеристики в момент воздействия.

Для определения начального значения  вернемся к исходному уравнению (2). Из него следует, что в точке  функция g(t) должна совершить скачок на величину 1/а₁(х), (см. рис.), поскольку только при этом условии первое слагаемое в уравнении (2), a₁(t)[dg/dt], может образовывать дельта-функцию d(t-t).

Т.к. при , то в момент

                           (5)

Заменяя в (4) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом интегрирования, получаем соотношения для определения импульсной характеристики:

   (6)

Зная импульсную характеристику, нетрудно определить передаточную функцию линейной параметрической цепи, поскольку обе оси связаны парой преобразования Фурье:

   (7)

где a=t-t - задержка сигнала. Функция g₁(t,a) получается из функции  заменой t=t-a.

Наряду с выражением (7) можно получить еще одно определение передаточной функции, в котором импульсная характеристика g₁(t,a) не фигурирует. Для этого используем обратное преобразование Фурье для отклика S_ВЫХ(t):

  (8)

Для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием S(t)=cosw₀t. Соответствующий S(t) аналитический сигнал есть .

Спектральная плоскость этого сигнала

Подставляя  вместо  в формулу (8), получаем:

Отсюда находим

      (9)

здесь Z_ВЫХ(t) - аналитический сигнал, соответствующий выходному сигналу S_ВЫХ(t).

Таким образом, выходной сигнал при гармоническом воздействии

  (10)

определяется также, как и для любых других линейных цепей.

Если передаточная функция K(jw₀,t) изменяется во времени по передаточному закону с основной частотой W, то ее можно представить в виде ряда Фурье

    (11)

где  - не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно трактовать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с постоянными параметрами. Произведение  можно рассматривать как передаточную функцию каскадного (последовательного) соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией , не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией , изменяющейся во времени, но не зависящей от частоты w₀ входного сигнала.

Основываясь на выражении (11), любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде следующей эквивалентной схемы:

Откуда понятен процесс образования новых частот в спектре выходного сигнала

В соответствии с (9) аналитическй сигнал на входе будет равен

                      (12)

здесь j₀, j₁, j₂ ...- фазовые характеристики четырехполюсников  .

Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем

(13)

Этот результат  указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, по периодическому закону с основной частотой W гармонический выходной сигнал с частотой w₀ образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты w, w₀±W, w₀±2W  и т.д.

Если на входе цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой из частот w и входного спектра. Разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцип суперпозиции), и на входа цепи не возникает частот вида nw₁± mw₂,  где w₁ и w₂ - различные частоты входного сигнала.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей конденсатор, емкость которого является функцией приложенного напряжения. Как элемент радиотехнических цепей параметрических конденсаторов не существует. В качестве параметрического конденсатора обычно применяются нелинейные конденсаторы. Модель параметрического конденсатора получается из модели нелинейного конденсатора путем замены С(U) на С(t). Рассмотрим как это реализуется. Пусть на нелинейный конденсатор подано колебание высокой частоты U_НК(t), амплитуда которого достаточна для того, чтобы вызвать заметную модуляцию емкости в соответствии с законом C(U). Будем называть это модулирующее колебание колебанием накачки и будем считать, что оно гармоническое, т.е. U_НК(t)= =U_mНКcos(w_НКt+j_НК). Найдем закон изменения емкости от времени, т.е. зависимость C(t).

Вольт-кулонную характеристику нелинейного конденсатора можно аппроксимировать степенным полиномом, причем приемлемая точность аппроксимации в большинстве случаев получается при полиномах второй степени. Поэтому запишем аппроксимирующий полином в виде: , т.к. C(U)=q(U)/U, то, сделав соответствующие подстановки, найдем

(14)

Коэффициент b₁ равен дифференциальной емкости C₀ в начальной рабочей точке, заданной напряжением смещения U₀. Множитель перед косинусом имеет смысл коэффициента, характеризующего глубину изменения емкости: обозначим его m_С=(b₂/b₁)U_mНК=DC/C₀. С учетом этих обозначений соотношение (14) представляет собой зависимость емкости конденсатора изменяющейся во времени по гармоническому закону с частотой накачки:

       (15)

Это и есть модель параметрического конденсатора, полученная из модели нелинейного конденсатора путем замены зависимости C(U) зависимостью C(t).

Рассмотрим процесс в цепи, образованной источником сигнала U_C(t)=U_mCcos(w_ct+j_c) и параметрическим конденсатором емкостью (15). Будем считать, что амплитуда сигнала мала: U_mC<<U_mНК. Поэтому для напряжения сигнала емкость С можно считать линейной, т.е. в вольт-кулонной характеристике можно ограничиться только первым слагаемым.

Найдем ток, протекающий через конденсатор:

   (15)

Подставив в это выражение соответствующие величины, после преобразования получим:

Преобразуя произведения sinacosb по известным тригонометрическим формулам, получаем:

             (16)

Как видно из (16) в спектре тока, протекающего через параметрический конденсатор, помимо составляющей на частоте сигнала w_c содержатся гармоники разностной (w_нк-j_с) и суммарной (w_нк+j_с) частот. Рассмотрим процесс преобразования энергии в этой цепи.

Средняя мощность в рассматриваемой цепи равна мгновенной мощности, усредненной за период сигнала:

         (17)

где  - энергия сигнала, .

Прямое интегрирование (17) с учетом (16) достаточно громоздко. Поэтому выделим вначале такую составляющую тока (16), которая дает среднею мощность отличную от нуля, а затем вычислим и среднюю мощность.

Гармоника тока на частоте сигнала является обычной реактивной составляющей тока, протекающего через конденсатор. Она находится в квадратуре с напряжением сигнала  и не создает средней мощности. Гармоника тока суммарной частоты тоже не дает Р_ср¹0 на частоте w_c, т.к. нет самого колебания. И только на гармоника разностной частоты, и при одном только условии w_нк=2w_с, может создать полную мощность на частоте сигнала. Обозначим ее P_{с ср} и на основании (16) и (17) найдем

         (18)

Как следует из (18) средняя мощность в цепи может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от соотношения фазовых углов напряжений сигнала и накачки. При положительной мощности цепь потребляет от источника сигнала мощность, которая рассеивается в конденсаторе. Отрицательную мощность трактуют как мощность, поступающую в цепь от источника накачки, которая может на только скомпенсировать потери на частотах сигнала, но и привести к росту мощности сигнала на выходе цепи.

Таким образом, параметрический конденсатор может выполнять функцию активного элемента - усилителя мощности. Из (18) также следует, что по аналогии с обычным резистором, потребляющим активную мощность, параметрический конденсатор может быть заменен отрицательным сопротивлением, вносимым в цепь. Его значение можно найти из  условия  Сравнивая последнее соотношение  с (18), находим, что  и зависит только от фазовых соотношений между напряжениями сигнала и накачки.

Полученный эффект связанный с перекачкой энергии от источника U_нк в сигнал достаточно неожидан, и поэтому рассмотрим физику явления.

Существуют явления, при которых, также как и при действии гармонического сигнала на колебательный контур, результат внешнего воздействия называется зависимым от частоты этого воздействия. Эти явления объединяют понятием “резонанс” в более широком смысле, и применительно к колебательным цепям, содержащих параметрический конденсатор, говорят о параметрическом резонансе.

Рассмотрим в качестве примера явления, происходящие в колебательном контуре с параметрическим конденсатором при воздействии на конденсатор напряжения накачки в виде прямоугольных импульсов с частотой следования, равной удвоенной частоте собственных колебаний контура. Допустим, что между частотой собственных колебаний и изменением емкости С существует жесткая синхронизация: в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе достигает экстремума, емкость скачком уменьшается: в моменты времени, когда напряжение становится равным нулю, емкость скачком увеличивается на ту же величину (см. рис.).

Энергия, запасенная конденсатором, равна . При малом приращении емкости DС<<C₀ приращение энергии

   (19)

(линейно зависит от приращения емкости)

Максимальная энергия, запасенная параметрическим конденсатором, равна

Из графиков и формулы (19) следует, что за период собственных колебаний контур дважды получает дополнительную энергию от источника накачки в моменты экстремальных значений напряжения на конденсаторе. Обозначим эту дополнительную энергию накачки Е_НК, и, в соответствии с формулой (19), запишем

      (20)

 Как известно, эквивалентное сопротивление контура при резонансе активно и для параллельного контура равно R_ЭКВ=rQ, где Q - добротность, а  - характеристическое сопротивление контура. Энергия, рассматриваемая в контуре за период собственных колебаний, равна

       (21)

Сравнивая рассеиваемую энергию (21) с накачиваемой в контур (20), можно заключить, что в контуре колебания либо не возникают, либо они нарастают неограниченно. первое происходит, если Е_РАСС>E_НК;  второе - если Е_РАСС<E_НК. Другими словами, колебания нарастают, если коэффициент модуляции емкости больше некоторого критического значения. Из (20) и (21) также следует, что для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы выполнить условие

Подставив сюда , получим

Оно и определяет критическое значение ΔС.

Поясним полученный результат. Каждый раз, когда емкость уменьшается, конденсатор заряжен и энергия источника накачки затрачивается на увеличение электрической энергии контура. Каждый раз, когда емкость увеличивается, конденсатор разряжен и изменение емкости происходит без затрат полезной энергии.

Таким образом в цепях с реактивными параметрическими элементами энергия накачки может преобразовываться в энергию сигнала.

Рассматриваемая модель параметрической цепи реально представляет собой нелинейную цепь. А в цепи, содержащей нелинейный конденсатор, под воздействием напряжения генератора накачки и напряжения генератора сигнала, возникают колебания комбинационных частот

Чтобы представить себе как перераспределяется энергия информационного сигнала и сигнала  накачки между комбинационным колебанием рассмотрим следующую цепь.

Пусть параллельно нелинейному конденсатору включены три цепи: цепь накачки, цепь сигнала и колебательный контур. Последний называют холостым контуром. Контур настроен на одну из комбинационных частот w_к, и, поэтому, можно принять, что других комбинационных колебаний не существует. Сумма средних мощностей колебаний сигнала P_C, накачки P_НК и комбинационной частоты P_К должна быть равна нулю(закон сохранения энергии):

       (21)

Переходя в (21) от средних мощностей к энергиям в соответствии с (17) получим:  Подставляя сюда  находим, что

         (22)

Равенство (22) при произвольных  и  выполняется, если каждое слагаемое равно нулю (поскольку они не связаны общей частотой):

Переходя от энергии к средним мощностям получаем:

(23)

Уравнения (23) выражают закон сохранения энергии в параметрических цепях. Их называют уравнениями Мэнли-Роу. И они являются частным случаем общей теоремы Мэнли-Роу о балансе мощностей в спектре колебания параметрической цепи, содержащей реактивную нелинейность (емкость или индуктивность). Теорема записывается в виде:

Они определяют законы распределения энергии сигнала накачки между гармониками выходного сигнала

Здесь P_mn - средняя мощность колебания на комбинационной частоте .

Запишем уравнения Мэнли-Роу для частного вида цепи, в которой существуют колебания только на четырех частотах:

.

Для этого в (23) необходимо задать две пары значений m и n: m=1, n=1 и m=-1, n=1.

Тогда

   (24)

Эти формулы и устанавливают количественные соотношения (баланс) между мощностями колебаний различных частот.

На основании принципа параметрического резонанса строятся параметрические усилители. Различают три наиболее важных режима усиления: 1) с преобразованием частоты “вверх”; 2) с преобразованием частоты “вниз”; 3) регенеративный вырожденный режим.

Первые два режима реализованы в двухканальном усилителе, схема которого приведена на рис. Усилитель содержит два контура: сигнальный (L₁C₁), настроенный на частоту w_с, и выходной (L₂C₂), настроенный на одну из комбинационных частот (w₊ или w_-). Режим с преобразованием частоты “вверх” или “вниз” определяется частотой настройки выходного контура. На рис. также обозначены: G_НС - проводимость нагрузки сигнального контура, G_Н2 - проводимость нагрузки холостого контура.

Одиночный регенеративный усилитель является частным случаем усилителя с преобразованием частоты “вниз”.

В этом усилителе частота накачки равна удвоенной частоте сигнала, a разностная частота - частоте сигнала  поэтому отпадает необходимость в отдельном контуре, настроенном на разностную частоту. Двухконтурная схема “вырождается” в одноконтурную, откуда происходит название “вырожденный” режим. Если условие  выполняется строго, в контуре выделяется одно усиленное колебание, по амплитуде равное сумме колебаний на частоте сигнала и разностной частоте. Такой режим работы называется синхронным. Как было показано, он зависит от фазовых соотношений колебаний накачки и сигнала.

В реальных условиях невозможно точно выполнить условие синхронизации. Поэтому одноконтурный регенеративный усилитель всегда работает в асинхронном режиме, когда . При этом величина  становится функцией времени, поскольку получает случайную добавку dwt. Вносимое сопротивление, определяемое формулой (18), также становится случайной функцией времени и, как следствие, возникают случайные изменения усиления. Это является серьезным недостатком одноконтурных усилителей.

Рекомендуемая литература

1. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях, М ., Связьиздат, 1954.

2. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей, 2-ое Изд., М., «Высшая школа», 1975.

3. Атабеков Р. И. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1969.

Контрольные задания для СРС (тема 13) [1,2,9,10]