Тема 12. Анализ нелинейных цепей.

 

 

План лекции

1. Общие понятия об элементах нелинейных цепей

2. Модели нелинейных элементов.

3. Аналог цепей с безынерционными элементами

4. Преобразование спектров сигналов в нелинейных цепях и его практическое применение.

5. Амплитудная модуляция

 

Цепи, которые изучались ранее, относятся к классу линейных цепей. Параметры элементов этих цепей. Параметры элементов этих цепей - сопротивлений, индуктивностей, емкостей - не зависит от значений приложенных к ним напряжений или протекающих через них токов.

В действительности любой реальный элемент таким постоянством не обладает и линейная теория оказывается справедливой только в определенных пределах значений напряжений и токов. Существует также обширный класс исключительно важных элементов и устройств, параметры, которых существенно зависят от токов или напряжений. Такие элементы называются нелинейными. Им нельзя приписать какой-то постоянный параметр даже при изменении переменных в ограниченном диапазоне. Для количественного описания свойств нелинейных элементов необходимо задавать зависимости, называемые характеристиками. Рассмотрим в общем виде характеристики основных нелинейных идеализированных элементов.

 

 Нелинейный резистивный элемент (НЭ) полностью определяется зависимостью между током i и напряжением U (т.е. ВАХ):  i=i(U) или U=U(i). Резистивный НЭ обозначается:. Одна из форм ВАХ может быть, например, такой (см. рис.).

Определить нелинейный резистивный элемент - значит задать его вольтамперную характеристику полностью. В каждой точке ВАХ, заданной конкретным значением напряжения и тока U=U0, i=i(U0)=i0, можно ввести понятие статического сопротивления

 

 

и динамического (дифференциального) сопротивления, равного котангенсу угла наклона касательной к ВАХ в данной точке:

 

 

Общая классификация видов ВАХ резистивных НЭ рассматривает их свойства по  положению ВАХ по квадрантам в плоскости (U, i), (см. рис.). Если график располагается только в первом и третьем квадрантах, то ВАХ относится к пассивному элементу, поскольку потребляемая мощность  (а,б). Для пассивного элемента i(0)=0. Если же часть графика попадает во второй, или в четвертый квадрант, то говорят, что элемент является активным (в). Это означает, что в его цепи есть источник  электрической энергии.

Реально в качестве резистивных НЭ используются диоды (1), варисторы (2), туннельные диоды (3), денисторы (4) (см. след. рис.).

Безынерционные нелинейные четырехполюсники - четырехполюсники, на полюсах которых мгновенные значения токов и напряжений полностью задается функциями двух переменных х1 и х2, отражающих мгновенные значения токов и напряжений на других полюсах [F1(x1, x2), F2(x1, x2)], называют безынерционными нелинейными четырехполюсниками (БНЧ).

БНЧ могут быть описаны уравнениями, отражающими зависимости токов от напряжений на полюсах:

 

 

 

Реальными объектами, которые могут быть описаны как БНЧ, являются, например, биполярный и полевой транзисторы.

Идеализированными моделями БНЧ являются управляемые источники с нелинейными коэффициентами передачи, например, идеализированная модель полевого транзистора (см. рис.), в которой зависимость тока стока от напряжения затвор-исток представляется некоторой линейно функцией I(U) (iс =ic(Uзи)).

 

Цепи, не содержащие емкостей и индуктивностей, т.е. энергоемких элементов, называются резистивными. Их математическими моделями являются системы нелинейных уравнений.

В общем случае также уравнения не решаются аналитически. Для их решения используют графоаналитический и численный методы.

Обычно при анализе нелинейных резистивных цепей рассматривают задачу в такой формулировке.

Задана цепь с известными характеристиками НЭ, параметры  линейных элементов и параметрами  источников постоянного напряжения и тока. Пусть на входе цепи действует один источник переменного сигнала S(t), действующем на входе цепи. Требуется найти реакцию цепи y(t):   т.е напряжение или ток на ее входе (1) или выходе (2).

Если сигнал напряжения а отклик ток, то цепь можно рассматривать как двухполюсник (рис. а), если это пара напряжений или пара токов, то  как

Четырехполюсник.

а)                                                  б)

Выходной характеристикой резистивного двухполюсника называют зависимость мгновенного значения реакции на входе y(t) от мгновенного значения входного сигнала S(t), т.е. функцию y=y(S). Чаще всего эту функцию называют и передаточной характеристикой резистивного двухполюсника, и определяют последующую зависимость мгновенного значения реакции на выходе y(t) от мгновенного значения входного сигнала S(t), т.е. функцию y(s), т.е. это одно и тоже. Эти характеристики можно измерить экспериментально, подключив в качестве S(t) источник регулируемого напряжения (тока) и регистрируя значения выходной величины в зависимости от входной.

На рис. показана схема и результат экспериментального измерения ВАХ НЭ (двухполюсника).

 

Одним из важнейших свойств нелинейных цепей является преобразование спектра входных сигналов. Оно заключается в том, что при действии на входе цепи гармонического или импульсного сигнала, состоящего из суммы нескольких гармонических колебаний различных частот, реакция (т.е. ток или напряжение любой ветви) будет содержать не только гармоники воздействия, но и новые гармоники, которых нет во входном сигнале.

Такое свойство преобразование спектра принципиально невозможно в линейных цепях с постоянными параметрами (RLC - цепях). Там токи и напряжения в любой ветви состоят только из гармоник, содержащихся во входном сигнале.

Пусть задана нелинейная резистивная цепь с передаточной (или входной) характеристикой, заданной в виде степенного полинома. Пусть это, например, ВАХ в виде:

     (1)

 

Рассмотрим сначала действия на цепь гармонического сигнала

(2)

 

Подставим (2) в (1), получаем

 

 

Из тригонометрии  известно, что

 

Как видно, гармоническая функция степени n эквивалентна сумме функций кратных частот, причем четная степень содержит только четные гармоники, нечетная - только нечетные. Очевидно, что наибольшая частота гармоник, равная n, определяется старшей степенью полинома характеристики цепи:

 

В общем виде можно записать

l - четные l - нечетные

 

На рис. изображен дискретный спектр входного и выходного сигналов для нелинейности общего вида (а), четной (б) и нечетной (в) функций i(U).

Рассмотрим теперь действие на цель сигнала, состоящего из суммы двух гармонических функций с частотами и :

 

 

Реакция цепи будет состоять из суммы степеней двучленов

 

 

При n=2, 3 степени двучленов будут таким

 

 

В отличие от воздействия одного сигнала при воздействии сигнала в виде суммы двух функций в отклике имеются еще и дополнительные слагаемые в виде произведения степеней (), где m=1,2,...,n. При этом все степени гармонических функций дают суммы гармоник кратных частот.

Произведения двух гармонических функций дают гармонические функции с частотами, равными разностям и суммам частот сомножителей. В качестве первого приближения можно записать

 

 

Таким образом, в произведении степеней имеем в общем случае частоты mn=±m1±n2, m=1, 2, ..., n. Колебания с частотами mn называется комбинационными, а сумма  - порядком комбинационного колебания.

Спектр сигнала на выходе безынерционного нелинейного четрырехполюсника в случае действия на него четырехполюсника в случае сигналов на входе суммы двух гармонических сигналов приведен на следующем рисунке.

Таким образом в общем случае при действии суммы двух гармонических сигналов отклик цепи содержит колебания комбинационных частот

 

      (3)

 

Появление в спектре выходного сигнала нелинейного элемента составляющих, которых не было во входном сигнале, широко используют в технике.

Важнейшими применениями этого явления являются умножение частоты, модуляция и детерминирование (демодуляция). Во всех устройствах, в которых производится эти преобразования, нелинейные элементы используются совместно с линейными цепями - фильтрами.

 

Амплитудные модуляторы производят преобразования вида  Процесс амплитудной модуляции состоит в преобразовании “ медленного” сигнала S(t), называемого модулирующим, в быстро осциллирующий сигнал, амплитуда которого меняется по закону S(t):

 

Здесь Acos0t - функция, называемая несущим колебанием, m - коэффициент модуляции (m≤1), где ;  Smax=max|S(t), где S(t) – информационная функция.

         (5)

Например, если S(t) - сигнал вида (см. рис.), то соответствующий ему АМ-сигнал имеет вид следующего графика (см. рис.).

Определим спектр амплитудно-модулированного колебания.

Пусть АМ-колебание описывается функцией V(t)=f(t)cos0t. На основании прямого преобразования Фурье спектр этой функции будет содержать 2 группы гармоник: суммарной и разностной частот

 

 

 

Поскольку по определению в выражении  есть спектр функции ,  то формула (*) означает, что при АМ-модуляции спектр НЧ колебания переносится в область ВЧ колебания и раздваивается.

В нашем случае , где . Спектр такой функции состоит из двух частей:    (**). Следовательно, на основании формулы (*), спектр АМ-колебания будет иметь вид:

 

 

На рис. Изображены спектры модулирующего сигнала, несущего и АМ-колебания. Как видно, в результате модуляции спектр информационного сигнала переносится в область несущего колебания.

Процесс амплитудной модуляции является типичным преобразованием спектра сигнала S(t) и может быть осуществлен только в цепи с нелинейным элементом. Поскольку получение АМ-колебания требует двух сигналов: модулирующего S(t) и несущего Acos0t, на нелинейный элемент должна действовать сумма этих сигналов.

Включенный последовательно с нелинейным элементом линейный полосовой фильтр (ПФ) – например колебательный контур, настроенный на несущую частоту w0, - выделяет полосу частот, соответствующую АМ-колебанию.

Пусть ВАХ безынерционного нелинейного элемента описывается многочленом второй степени

Определим входной ток полосового фильтра:

 

 

Рассмотрим спектральный состав тока, пологая что резонансная частота контура 0 можно больше максимальной частоты max в спектре S(t). НЧ спектр S1 обусловлен постоянной составляющей  и членами с S(t) и S2(t), а спектры S2 и S3 образуются сигналами, пропорциональными cost и cos2t, соответственно. Если теперь принять, что полоса пропускания полосового фильтра сосредоточена вблизи (пунктир на графике), то он будет выделять колебание, пропорциональное cost, которое и представляет собой АМ-колебание.

Таким образом АМ-колебания получаются путем нелинейного сложения сигнала модуляции S(t) и несущего колебания. В результате получается  выходное напряжение следующего вида.

 

 

Напряжение между затвором и источником UЗИ вычисляется по формуле, полученной на основании законов Кирхгофа в предположении, что :

 

Подбором значений сопротивлений R1, R2, R3 и напряжения смещения ЕСМ осуществляется выбор рабочей точки на передаточной характеристике транзистора. Наилучшим считается такое положение рабочей точки, когда коэффициенты разложения ВАХ в окружности этой точки обеспечивают максимальное значение коэффициента модуляции по первой гармонике выходного тока.

 

Рекомендуемая литература:

1.  Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. М., «Сов. радио», 1974.

2.  Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., «Сов. радио», 1973.

3.  Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей. М., «Связь», 1972.

 

Контрольные задания для СРС (тема 12) [1,2,9,10]