Тема 10. Свойства и характеристики активных линейных цепей с обратной связью

План лекции

1. Виды обратной связи.

2. Алгебраический критерий устойчивости.

3. Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста).

Одной из характерных черт любого электронного устройства является наличие или отсутствие обратной связи, т.е. связи, определяющей передачу на его вход части сигнала с его же выхода. Наличие такой связи может быть обусловлено следующими факторами:

1. физическими свойствами и конструктивными особенностями применяемых активных элементов. Это, так называемая, внутренняя обратная связь. (см. параметр h₁₂) ;

2. неудачным расположением и монтажем различных элементов схемы, когда паразитные емкостные и индуктивные связи создают путь для передачи сигнала с выхода на вход. Это, так называемые паразитные обратные связи;

3. специальными цепями, когда путь для передачи сигнала с выхода на вход устройства создается умышленно, для придания устройству нужных свойств. Это, так называемая, внешняя обратная связь.

Четырехполюсник, охваченный обратной связью, можно представить в виде основного четырехполюсника (без обратной связи) с коэффициентом передачи  и четырехполюсника обратной связи с коэффициентом передачи K_OC. При этом вход последнего присоединен к выходу, а выход - ко входу основного четырехполюсника.

При сложении сигналов от источника  с колебаниями, поступающими через цепь обратной связи, образуется результирующий сигнал на входе основного четырехполюсника. Он больше по величине чем U_BX, если оба этих сигнала складываются в фазе, и меньше, если в противофазе. В первом случае имеет место положительная обратная связь, во втором - отрицательная обратная связь.

Практическое совпадение или противоположность фаз возможны только в ограниченном диапазоне частот, т.к. фазовый сдвиг из-за наличия реактивностей зависит от частоты. Из этого следует, что обратная связь, отрицательная на одних частотах, может быть положительной на других при одном и том же четырехполюснике обратной связи.

Оба четырехполюсника ( и ) составляют кольцевую цепь, которую называют петлей обратной связи. Внутри этой петли различают четыре способа соединения этих четырехполюсников.

Последовательная обратная связь по току -  основной четырехполюсник и четырехполюсник обратной связи соединены последовательно: с одной стороны последовательно соединены источник усиливаемого сигнала U_BX,  вход основного четырехполюсника  и выход четырехполюсника обратной связи ; с другой стороны последовательно соединены нагрузка , выход четырехполюсника  и вход четырехполюсника . По первому контуру протекает общий ток , по второму - .

В этом случае  зависит только от , поскольку . Поэтому связь называется ОС по току. В том, что  убеждает и анализ этой зависимости: при  и , то есть обратная связь исчезает.

 Параллельная обратная связь по напряжению - четырехполюсники соединены параллельно. Влияние обратной связи проявляется через ток во входной цепи четырехполюсника: .

Ток  здесь зависит только от выходного напряжения:

При ,  и , то есть обратная связь исчезает.

Последовательная обратная связь по напряжению - четырехполюсники соединены параллельно-последовательно , то есть зависит только от U_BbIX: при , и .

Параллельная ОС по току - четырехполюсники соединены параллельно-последовательно. При этом , а    

зависит только от тока : при ,  и , то есть  ОС исчезает.

Из теории электрических цепей известно, что напряжения или токи на входе и выходе произвольной линейной цепи связаны между собой дифференциальным уравнением

              (48)

где m,n - целые числа, определяющие порядок уравнения (или порядок цепи);

a_n, b_m - постоянные вещественные числа.

Пример цепи первого порядка - RC — ФНЧ и RC — ФВЧ.

Проблема устойчивости сводится к анализу зависимости выходного напряжения от времени при U_BX. В этом случае анализируют только собственные колебания, то есть колебания, которые принципиально могут существовать в цепи. Но это не означает, что они обязательно возникают в реальной цепи при U_BX¹0.

Полагая в (48) U_BX=0, получим однородное дифференциальное уравнение, решением которого являются собственные колебания цепи:

0      (49)

Решением (49) являются функции вида e^Pit, где p_i - корни характеристического уравнения вида

                         (50)

Поэтому общее решение однородного уравнения (50) является линейной комбинацией экспоненциальных функций :

                                       (51)

Корни характеристического уравнения могут быть комплексными, вещественными или мнимыми. Условию устойчивости удовлетворяют только отрицательные вещественные корни или комплексные корни с отрицательной вещественной частью. Первые описывают апериодические изменения напряжения, вторые - затухающие колебания. Следовательно, эти корни соответствуют физическому критерию устойчивости, который гласит, что собственные колебания цепи должны быть затухающими. Таким образом, для устойчивой работы цепи необходимо, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой цепи находились в левой полуплоскости комплексного переменного Р, что, в свою очередь, соответствует отрицательной вещественной части всех корней характеристического уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение (48) с иной позиции. Колебаниям в цепях можно соотнести изображение по Лапласу. Запишем соответствие между оригиналом и изображением:

Вычислив преобразование Лапласа для обеих частей уравнения (48), получим

откуда находим коэффициент передачи в операторной форме

                  (52)

Знаменатель этой дроби совпадает с характеристическим уравнением (50). Поэтому корни уравнения p_i можно рассматривать как полюса операторного коэффициента передачи. Тогда критерий устойчивости замкнутой цепи можно сформулировать следующим образом : все полюса коэффициента передачи замкнутой цепи должны находиться в левой полуплоскости плоскости комплексной частоты p.

Алгебраический критерий устойчивости работы усилителя равносилен требованию, что модуль петлевого коэффициента усиления не должен обращаться в единицу в правой полуплоскости плоскости p. В этом случае в правой полуплоскости нет и полюсов функции K(p).

Для дальнейшего анализа учета ФЧХ петли ОС необходимо установить взаимно-однозначное соответствие плоскости комплексного переменного p=s+jw и плоскости  Правая полуплоскость плоскости p ограничена мнимой осью (jw) и полуокружностью радиуса R®¥ [|R|=].

При движении вдоль мнимой оси от jw до -jw функция  плоскости Н отображается кривой, вид которой определяется функциональной зависимостью . Следовательно мнимая ось плоскости p отображается на плоскости Н в кривую, заданную уравнением   или

где j_k(w), j_OC(w) - фазочастотные характеристики усилителя и цепи ОС.

На контуре бесконечно большого радиуса функции  стремится к нулю. Действительно, R®¥ означает p®¥, а в этом случае в числителе и знаменателе формулы (52) имеет смысл сохранять только члены высшего порядка (так как pⁿ>>p^n-1>>... ; p^m>>p^m-1>>... ). Поэтому на окружности R®¥ функция  примет вид . При n>m функция , а следовательно и  стремятся к нулю при R®¥. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса на плоскости p отображается в точку начала координат на плоскости Н. Следовательно, поведение  однозначно определяется замкнутой кривой  на плоскости Н. В соответствии с правилом обхода контуров движение вдоль мнимой оси (сверху вниз) соответствует обходу замкнутой кривой  при изменении частоты от +¥ до -¥. При этом вся правая полуплоскость плоскости p отображается во внутреннюю область замкнутой кривой .

Отсюда следует, что активная цепь устойчива, если ее петлевой коэффициент усиления не охватывает точку (1+j0). В противном случае цепь неустойчива.

Это условие называют критерием устойчивости Найквиста, а кривую  называют диаграммой Найквиста.

Исходя из критерия Найквиста, обычно используют  сравнительно простой  способ определения частотной области устойчивости работы усилителя. Для устойчивости работы усилителя необходимо, чтобы в полосе рабочих частот выполнялось условие K(w)K_OC(w)<1 при j_k(w)+j_OC(w)=2p.

Рекомендуемая литература

1. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях, М ., Связьиздат, 1954.

2. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей, 2-ое Изд., М., «Высшая школа», 1975.

3. Атабеков Р. И. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1969.

Контрольные задания для СРС (тема 10) [1,2,9,10]