Тема 8. Прохождение сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами.

План лекции

1. Определение линейной цепи

2. Дельта - функция - как пример пробного сигнала

3. Временной и спектральный методы анализа передачи сигналов через линейные цепи.

4. Особенности анализа радиосигналов в избирательных цепях

Электрическая цепь осуществляет преобразование сигналов, поступающих на ее вход. Поэтому в самом общем случае математическую модель цепи можно задать в виде соотношения между входным воздействием S_вх(t) и выходной реакцией S_вых(t):

S_вых(t)=TS_вх(t),

где Т - оператор цепи.

На основании фундаментальных свойств оператора можно сделать заключение о наиболее существенных свойствах цепей.

1. Если оператор цепи Т не зависит от амплитуды воздействия, то цепь называется линейной. Для такой цепи справедлив принцип суперпозиции, отражающей независимость действия нескольких входных воздействий:

T[S_вх1(t)+ S_вх2(t)+...+ S_вхn(t)]=TS_вх1(t)+TS_вх2(t)+...+TS_вхn(t)      (1)

Очевидно, что при линейном преобразовании сигналов в спектре отклика нет колебаний с частотами, отличными от частот спектра воздействий.

Класс линейных цепей образуют как пассивные цепи, состоящие из разисторов, конденсаторов, индуктивностей, так и активные цепи, включающие еще и транзисторы, лампы и т.п. Но в любой комбинации этих элементов их параметры не должны зависеть от амплитуды воздействия.

2. Если сдвиг входного сигнала во времени приводит к такому же сдвигу выходного сигнала, т.е.

S_вых(tt₀)=TS_вх(tt₀),                                  (2)

то цепь называют стационарной. Свойство стационарности не распространяется на цепи, содержащие элементы с переменными во времени параметрами (индуктивности, конденсаторы и т.п.).

Для анализа прохождения сигналов через электрические цели широко используются пробные сигналы, обладающие какими - либо характерными свойствами. Такой функцией, в частности, является дельта-функция d(t), обращающаяся в ноль при t¹0 и в бесконечность при t=0, так, что

                                 (3)

Этому определению удовлетворяет, например, прямоугольный импульс длительностью t_u , амплитуда которого обратно пропорциональна его длительности 1/t_u . При t_u®0 амплитуда импульса бесконечно растет, а площадь остается постоянной - равной единице. Действительно, если

то дельта-функцию можно определить как  d(t)=

При этом

В более общем случае дельта-функцию можно записать в виде

                    (4)

Спектральную плотность дельта-импульса Ad(t) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:

                      (5)

На основании определения дельта-функции интервал интегрирования в формуле (5) можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя момент t=0. В пределе он может быть устремлен к нулю и подъинтегральная функция e^jwt примет значение, равное единице. Таким образом . Следовательно, спектральная плотность дельта-импульса имеет равномерный частотный спектр. ФЧХ дельта-импульса равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие начинаются с одной фазы и образуют бесконечный пик при t=0.

По определению, дельта-функция обладает свойством, которое может быть выражено соотношением

                              (6)

Его называют фильтрующим свойством дельта-функции, согласно которому интеграл от произведения произвольной функции на d(t-t₀) равен значению этой функции в точке t=t₀ .

На основании обратного преобразования Фурье выразим дельта-функцию через ее спектр:

d(t)=                   (7)

По аналогии с (7) можно ввести дельта-функцию аргумента w

d(w)=                                  (8)

В (8) знак показателя экспоненты не влияет на значение интеграла, поскольку  и независимо от знака интеграл от нечетной функции sin на симметричном интервале интегрирования равен нулю. Поэтому можно записать

d(w)=                                (9)

Пусть на вход линейной стационарной цепи подан сигнал S_вх(t). На основании определений дельта-функции и ее фильтрующего свойства входной сигнал может быть представлен в виде интеграла

S_вх(t)=        (10)

поскольку он является предельным выражением суммы, которой входной сигнал представляется как бесконечная последовательность дельта- импульсов, смешенных друг относительно друга на время t. Амплитуда импульсов равна значению сигнала в те же моменты времени t (см. рис.)

Такой метод аналитического моделирования сигналов называется методом интеграла наложения ( на последовательность пробных импульсов накладывается информац. сигнал).

Если установить реакцию цепи на отдельный дельта-импульс, то в силу линейности и стационарности цепи можно просуммировать отдельные реакции и получить выходной отклик на любое входное воздействие. Поэтому вводят импульсную характеристику цепи h(t), являющуюся выходным откликом на входной дельта-импульс. Таким образом, выходная реакция S_вых(t) на произвольное входное воздействие может быть представлена интегралом

S_вых(t)=       (11)

Из (11) следует, что сигнал на выходе цепи S_вых(t) в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала S_вх(t) с весом h(t-t) за все предыдущее время с начала сигнала. Импульсная характеристика и метод интеграла наложения являются основными понятиями при исследовании прохождения сигналов через линейные цепи методом интеграла наложения.

Соотношение (11) может быть записано также в виде

S_вых(t)=           (12)

Представим входной сигнал в виде интеграла Фурье

S_вх(t)=

Если сделать подстановку t=t^’-t (а потом отбросить штрих у t ), то можно записать, что

S_вх(t-t)=

Подставив это выражение в (12) и изменив порядок интегрирования, получим

            (13)

Внутренний интеграл является комплексной функцией частоты. Обозначим его как

®              (14)

 является прямым преобразованием Фурье для импульсной функции цепи. Его функции называют частотным коэффициентом передачи цепи (или комплексной частотной характеристикой).

Частотному коэффициенту передачи можно дать и другие эквивалентные толкования. Одно из них получается в результате подстановки (14) в (13):

S_вых(t)=      (15)

Как видно, полученное выражение совпадает с обратным преобразованием Фурье для спектра выходного сигнала, поскольку

_ВЫХ(w),                           (16)

или, другими словами, частотный коэффициент передачи есть множитель пропорциональности между спектральными плотностями входного и выходного сигналов. Отсюда возникло название метода анализа прохождения сигналов через линейные цепи, основанного на использовании частотного коэффициента передачи, как спектрального метода.

Практически частотный коэффициент передачи удобнее вычислять пользуясь другим его определением. Для этого рассмотрим в качестве входного сигнала гармоническое колебание в комплексной форме : S_ВХ(t)=. Гармоническое колебание, сдвинутое во времени S_BX(t-t)=. Подставив это выражение в (12), выносят из под интеграла функции, не зависящие от переменной интегрирования и, перегруппировав члены, получим:

S_ВХ(t)=

Здесь интеграл есть частотный коэффициент передачи. Таким образом, _ВЫХm , откуда

                                    (17)

и, следовательно, коэффициент передачи равен отношению комплексных амплитуд гармонических колебаний на выходе и входе линейной цепи. Частотный коэффициент передачи обычно записывают в показательной форме

             (18)

где K(w)=|| - амплитудно-частотная характеристика цепи (АЧХ) j(w)=j_вых-j_вх - фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ).

Из соотношения (12) следует еще один метод практического определения импульсной характеристики h(t):

                               (19)

где t - время анализа,

 - скорость изменения выходного сигнала  в течение времени анализа t,

 - значения входного сигнала в течении времени анализа t.

Таким образом, импульсная характеристика характеризует скорость изменения выходного сигнала за время анализа по отношению к мгновенным значениям входного сигнала в течении этого же интервала времени. Для ее определения достаточно знать форму входного и выходного сигналов за время действия пробного сигнала. Отсюда понятно и введение понятия пробного сигнала.

При решении задач о прохождении сигналов через электрические цепи основное внимание уделяют изменениям информационных параметров сигналов, поскольку это связано с проблемой сохранения информации, переносимой сигналами. В случаях, когда информация заложена непосредственно в форме сигнала (случай простых сигналов), задача сохранения информации сводится к задаче сохранения формы (или спектра) сигнала.

Иначе дело обстоит с радиосигналом, в котором информация заключена в одном из нескольких параметров высокочастотного колебания. Не обязательно сохранять полностью структуру этого колебания; достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра, в котором заключена информация. Так, в случае амплитудно-модулированного колебания, важно передать огибающую амплитуд, а некоторое изменение частоты или несущее колебание, не имеющее существенного значения, при анализе можно не учитывать. При передаче радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное внимание следует уделить точному воспроизведению закона изменения частоты и фазы, а изменением амплитуды можно пренебречь.

Эти особенности радиосигналов открывают путь к некоторому упрощению методов анализа их передачи через линейные цепи. Возможность упрощения особенно существенна, когда радиосигнал представляет собой узкополосный процесс, а цепь - узкополосную систему. Это как раз и характерно для реальных радиосигналов и реальных радиоцепей.

а) Приближенный спектральный метод. Пусть цепь представляет собой избирательную систему, передаточная функция  которой имеет максимум вблизи частот w_p и (-w_p). И пусть на ее входе действует высокочастотное модулированное колебание S(t) спектральная характеристика которого имеет два максимума вблизи частот w₀ и (-w₀). В общем случае резонансная частота цепи w_p не совпадает с центральной частотой сигнала w₀, т.е. имеет место расстройка

Dw=w₀-w_p                                                     (20)

которая является величиной того же порядка, что и полоса пропускания цепи.

Составим выражение для сигнала на выходе цепи. Если входной сигнал имеет гармоническое заполнение, т.е. S(t)=A(t)cos(w₀t+q(t)), то выкладки значительно упрощаются при использовании понятия аналитического сигнала:

                                   (21)

Спектральная функция этого сигнала  существует только в области положительных частот, поэтому при определении аналитического сигнала на выходе цепи следует исходить из выражения:

                   (22)

Спектральные функции высокочастотного модулированного колебания  и аналитического сигнала  при w>0 связаны соотношением , причем при w>0 , где ‑спектральная функция огибающей.

Следовательно .

Подставляя это выражение в (22), получаем

                (23)

Введем переменную W=w-w₀. Тогда

      (24)

Из сопоставления (24) с (21) видно, что выражение, стоящее в фигурных скобках соответствует комплексной огибающей выходного колебания:

Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств передаточной функции резонансных цепей, обладающих сильно выраженной частотной избирательностью: Модуль коэффициента передачи  быстро убывает при удалении w от резонансной частоты. Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать в виде функции расстройки частоты w относительно резонансной частоты w_p:

         (26)

где постоянный параметр расстройки Dw=w₀-w_p. Т.к.  при W=-w₀ , нижний предел интегрирования в (25) можно заменить на -¥. При этом оно принимает вид:

             (27)

Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье, определяющего оригинал по заданной спектральной плотности огибающей  и передаточной функции .

Заменив jW на p, получим выражение в форме обратного преобразования Лапласа:

                         (28)

Таким образом, анализ передачи узкополосного высокочастотного колебания через избирательную цепь по существу сводится к анализу изменений, претерпеваемых комплексной огибающей входного сигнала. После нахождения A_вых(t) и q_вых(t) для выходного аналитического сигнала можно будет написать следующее выражение:

Z_вых(t)=A_выхe^{j[w0t+qвых(t)]} (29)

откуда    

S_вых(t)=A_вых(t)cos[w₀t+q_вых(t)]                    (30)

Вычисления, связанные с определением  по формуле (28), значительно проще, чем при непосредственном определении S_вых(t) с помощью обратного преобразования Лапласа, так как  переход от  к  и от  к  сокращает число особых точек подинтегральной функции.

б) Упрощенный метод интеграла наложения. (Метод огибающей).

Упрощение спектрального метода было достигнуто упрощением передаточной функции избирательной цепи . Аналогично метод интеграла наложения можно упростить укорочением импульсной характеристики h(t), тесно связанной с передаточной функцией .

Основываясь на общем выражении

и переходя к аналитической функции Z_h(t), соответствующей физической функции h(t), находим

                           (31)

Заменим переменную w=w₀+W. Тогда с учетом формулы (26) и после замены нижнего предела  -w₀ на -¥ получим

С другой стороны, представив искомую импульсную характеристику в виде узкополосной функции

h(t)=H(t)cos[w₀t+gh(t)]

имеем:

Z_h(t)=H(t)e^j[w0t+gh(t)]=H(t)e^jgh(t)e^jw0t= (33)

Из сравнения (32) и (33) непосредственно вытекает равенство, определяющее комплексную огибающую импульсной характеристики h(t) :

        (34)

Применение этого выражения упрощает вычисление импульсной характеристики h(t).

Обратимся теперь к (27). Используя правило, согласно которому произведению двух спектров  соответствует функция времени S(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

, (35)

где y - временной интервал, в течении которого одновременно существуют функции f(t) и g(t), из (27) можем определить  в виде свертки двух функций времени, соответствующих спектральным функциям  и . Первой из этих функций соответствует , а второй, как это следует из (34) - . Следовательно

    (36)

Это выражение является общим, пригодным для любых избирательных цепей и любых узкополосных сигналов. В тех случаях, когда свободные колебания характеризуются постоянной частотой заполнения, как, например, в одиночном колебательном контуре, g_h(t) вырождается в постоянную фазу и выражение (36) существенно упрощается. То же самое относится и к сигналам с немодулированной частотой заполнения, когда q(t) обращается в постоянную величину.

Метод интеграла наложения эффективен в тех случаях, когда временные характеристики сигналов или цепей (или тех и других) оказываются более простыми, чем спектральные. Такое положение имеет место, например, при анализе прохождения ЧМ сигналов.

Рекомендуемая литература

1. Карни Ш. Теории цепей. Анализ и синтез. М., «Связь», 1973.

2. Френкс Л. Теория сигналов. М., «Сов. радио», 1974.

3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио», 1966.

Контрольные задания для СРС (тема 8) [1,2,9,10]