Тема 5. Узкополосные и аналитические сигналы.

План лекции

1. Определение узкополосного процесса

2. Формы математических моделей

3. Аналитические сигналы

4. Корреляционная функция узкополосного процесса

1. Определение узкополосного процесса.

Узкополосные и аналитические сигналы широко используют как модели реальных сигналов и помех. Процесс называют узкополосным, если

Dw/w₀<<1,                               (77)

где Dw=w₀-w₁ - ширина спектра ; w₀=(w₂+w₁)/2 - средняя частота.

Узкополосные процессы могут быть реализованы на выходе устройств, работающих на высоких и промежуточных частотах. На экране осцилографа эти реализации имеют вид синусоиды с медленно меняющимися амплитудой и частотой. ( см. рис.)

2. Формы математических моделей.

3.

Используют две равноценные формы аналитического представления узкополосных процессов в виде: амплитудно-частотно-модулированного колебания

X(t)=A(t)cos[w₀t+Ф(t)],                     (78)

где A(t) - огибающая, Ф(t) - фаза ;

суммы двух амплитудно-модулированных колебаний

X(t)=A(t)cosw₀t+b(t)sinw₀t                   (79)

где a(t)=A(t)cosФ(t), b(t)=A(t)sinФ(t),                                (80)

A(t)= Ф(t)=arctg[b(t)/a(t)].              (81)

Выбор формы представления связан с выбором системы координат: в полярной применяют представление (80) и (81) устанавливают связь между характеристиками узкополосного процесса в полярной и декартовой системах координат.

Представление (79) можно рассматривать и как частный случай ортогонального разложения (используется всего одна гармоника). В то же время введение зависимости коэффициентов разложения от времени позволяет получить ряд полезных для описания модулированных сигналов свойств. Составляющую a(t) называют синфазной, а b(t) - квадратурной (говорят, что a(t) и b(t) находятся в квадратуре ). Функции a(t), b(t), A(t) и Ф(t) - медленно меняющиеся по отношению к гармоническому колебанию с частотой w₀. Функции a(t) и b(t) можно рассматривать и как ортогональные составляющие комплексной огибающей

                  (82)

а в более общем случае узкополосный процесс X(t) - как вещественную часть комплексной функции:

    (83)

где

Комплексная форма записи узкополосного процесса (83) - обобщение символической записи гармонических колебаний, в которой А и Ф рассматривают не как постоянные величины, а как функции времени.

3. Аналитические сигналы.

Если  и  составляют пару преобразований Гильберта

      (85)

то сигнал  называют аналитическим. Если сигнал X(t) имеет неприрывный спектр

                             (86)

то спектр сопряженной функции

                          (87)

где знаковая функция

Прямое преобразование Гильберта можно рассматривать как результат прохождения X(t) через линейный четырехполосник, сдвигающий фазу всех составляющих спектра на угол -p/2. Комплексная частотная и импульсная характеристики такого четырехполосника, соответственно, равны

K(jw)=-jsignw, g(t)=1/pt                       (88)

Следовательно спектр аналитического сигнала

                      (89)

односторонний и существует только в области положительных частот. Это удобное свойство.

Условие ортогональности сигналов в усиленном смысле.

Аналитические сигналы называют ортогональными в усиленном смысле, если справедливо условие

                         (90)

где *) означают величину, комплексно - сопряженную с .

Условие (90) равносильно совместному выполнению двух условий

Из (87) следует, что спектры и корреляционные функции случайных процессов  и одинаковы. Взаимный энергетический спектр S₁₂(w)=iS(w), а взаимно - корреляционная функция

                          (91)

4. Корреляционная функция узкополосного процесса.

Рассмотрим как она определяется применительно к процессу, спектральная плотность которого равномерна на интервале [w₁,w₂] и для всех частот полосы Dw=w₂-w₁, равна S .

Использовав (54) , получим

где D - дисперсия процесса, =K₀(t)/D₀ - нормированная корреляционная функция огибающей; K₀(t) - корреляционная функция огибающей.

На рис. показан график корреляционной функции (92). Из сказанного следует важный вывод : для определения корреляционной функции узкополосного процесса необходимо найти  корреляционную функцию огибающей и умножить ее на cosw₀t

Рекомендуемая литература

1. Карни Ш. Теории цепей. Анализ и синтез. М., «Связь», 1973.

2. Френкс Л. Теория сигналов. М., «Сов. радио», 1974.

3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио», 1966.

Контрольные задания для СРС (тема 5) [1,2,9,10]