Тема 4. Модели случайных сигналов и помех.

План лекции

1. Телеграфный сигнал.

2. Белый шум

3. Гауссовский процесс

Телеграфный сигнал. Так называют случайную последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями t₁ и t₂ и детерминированными амплитудами +s и -s. Если длительности импульсов распределены по показательным законам  и  с параметрами l₁ и l₂ , то телеграфный сигнал является стационарным случайным процессом, который имеет показательную корреляционную функцию

                       (60)

где s² - дисперсия процесса, a=l₁+l₂ - параметр, значения которого полностью определяют корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала.

Телеграфный сигнал обладает важным свойством. Изменением a можно в широком диапазоне изменять корреляционные и спектральные характеристики процесса. Характеристики телеграфного сигнала при a®0 приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при a®¥ - к характеристикам белого шума.

Определим интервал корреляции, спектральную плотность и ширину спектра телеграфного сигнала. Интервал корреляции определим по формуле (50) :

                              (61).

Из (61) следует, что чем больше a, тем меньше время корреляции процесса. При a® Dt®¥ процесс вырождается в детерминированный, а при a®¥ Dt®¥ - в белый шум, у которого все сечения, в том числе и соседние, не коррелированы.

Спектральную плотность телеграфного сигнала определим с помощью (54) :

               (62)

Графики функций  K(t) и S(t) имеют вид :

В соответствии с (57) ширина спектра телеграфного сигнала

        (63)

При a®0 Dw®0 процесс вырождается в постоянную составляющую, при a®¥ Dw®¥ - в белый шум, у которого спектральная плотность постоянна в широком диапазоне частот. Для телеграфного сигнала

DtDF₁=1                                   (64)

Отсюда следует важный вывод, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.

Белый шум. Его используют как модель наиболее существенной помехи в каналах связи. Он является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью S(w)=S₀. Название “белый шум” возникло по аналогии с применяемым в оптике белый свет, который содержит все цвета спектра и все спектральные составляющие которого имеют примерно одинаковую энергию. Определяя белый шум как предельное состояние телеграфного сигнала при a®¥, найдем его свойства. Умножим и разделим выражения для спектральной плотности телеграфного сигнала на a.

Введем спектральную плотность белого шума

S₀=2s²/a,                          (65)

тогда       

S(w)=S₀(2pa)²/[(2pa)²+w²]= S₀ /(1+w²/a²).             (66)

Из (66) следует, что ; если , то

Рассмотрим, как изменяются дисперсия и корреляционная функция телеграфного сигнала при a®¥. Используя (65) выразим через a дисперсию

                           (67)

Спектральная плотность - это мощность процесса, которая приходится на 1Гц полосы частот, так как S₀=s²/DF₁. Из (67) следует, что , т.е. мощность белого шума не ограничена. Подставив значение мощности из (65) в (60), получим

K(t)=0.5 S₀ae^-a|t|                        (68)

Т.к.  при  |t|¹0, то и . При |t|®0 д.б. a®¥, но так как a|t|=const, след  поскольку S₀®¥ при a®0.

Поэтому корреляционную функцию в окрестностях точки t=0 апроксимируют дельта - функцией и записывают

K(t)=0.5 S₀d (t)                                  (69)

Определим спектральную плотность белого шума через  K(t)

                  (70)

Таким образом, белый шум обладает следующими свойствами: его спектральная плотность постоянна, составляющие при любых |t|¹0 не коррелированы, дисперсия бесконечна. Многие помехи в технике связи, вычислительной технике и других областях рассматриваются как белый шум. К таким помехам относят флуктуационные шумы, помехи в многоканальных системах и сетях связи, и др. Белый шум - понятие идеализированное. Не существует источников сигналов и помех, которые могли бы обеспечить бесконечную мощность, а также генерировать реализации процессов с некоррелированными близкими отсчетами. Этой идеализацией можно пользоваться, если действие помехи с шириной спектра Dw₂ рассматривают в полосе частот Dw₁ полезного сигнала или системы и соблюдается условие

Dw₁/Dw₂<<1                                    (71)

а спектральная плотность помехи W₂(w) изменяется на интервале Dw₁. На следующем рисунке эти условия иллюстрируют графики спектральных характеристик сигнала и помехи.

Характеристиками помехи как белого шума служат спектральная плот ность S₀ и средняя мощность в полосе частот сигнала

s²=S₀DF₁=S₀Dw₁/2p           (72)

Частотные составляющие помехи, которые лежат за пределами полосы пропускания системы, в инженерных расчетах можно не учитывать.

Гауссовский процесс.Случайный процесс, для которого n - мерная плотность распределения

    (73)

называют гауссовским. Здесь  - определитель;

s²- дисперсия; m=0; R_ik=K/(t_i,t_k);

A_ik - алгебраическое дополнение R_ik в А.

Для стационарного процесса R_ik= R_ki , где t=t_k-t_i. Поэтому для гауссовского процесса по корреляционной функции можно определить плотность распределения любого порядка. Первые два значения плотности распределения

                 (74)

   (75)

Гауссовский белый шум.

Если гауссовский процесс является белым шумом, все n сечений его не корреляционны, A_ik=1, A=1, R_ik=R_ki=d_iks², (d_ik - символ Кронепера ). Поэтому плотность распределения N-го порядка определяют как произведение из n одномерных плотностей распределения

    (76)

Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в результате сложения большого числа независимых или слабокоррелированных случайных колебаний.

Рекомендуемая литература

1. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях, М ., Связьиздат, 1954.

2. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей, 2-ое Изд., М., «Высшая школа», 1975.

3. Атабеков Р. И. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1969.

Контрольные задания для СРС (тема 4) [1,2,9,10]