Тема 1. Элементы линейной алгебры

Практическое занятие №3

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Формулы Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Матрица , составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Положим . Тогда решение системы можно найти по формулам Крамера:

Нетрудно видеть, что есть определитель, который получается из определителя матрицы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 1. Найти решение системы уравнений

а) найдем определители:

По формулам Крамера получим решение

Пример 2. Найти решение системы уравнений

а) найдем определители:

По формулам Крамера получим решение

2. Решение систем матричным способом

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Рассмотрим матрицу системы. Положим .

Введем еще две матрицы: X- матрица-столбец неизвестных; B- матрица-столбец свободных членов:

Тогда, используя правило умножения матриц, систему можно записать в матричной форме: . Матрица A имеет обратную, так как по условию . Умножая матичное уравнение на обратную матрицу А^-1 слева, получим

Следовательно, решение системы запишется в виде

Пример 3. Найти решение системы уравнений

матричным способом.

Решение. Запишем систему в матричном виде Здесь

Вычислим определитель системы, используя его свойства:

Обратная матрица имеет вид

поэтому

Пример 4. Найти решение системы уравнений

матричным способом.

Решение. Найдем обратную матрицу:

Тогда

Следовательно, х₁=1, х₂=3, х₃=-1.

3. Решение систем методом Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений общего вида

Введем две матрицы:

А – матрица системы и матрица - расширенная матрица, которая получаетсядобавлением к матрицестолбца свободных членов.

Метод Гаусса разделяется на 2 этапа. На 1 этапе пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, необходимо выяснить совместность или несовместность системы уравнений. Если система совместна, то на 2 этапе нужно найти решения системы.

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система (4) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы

При этом будем различать случаи:

1. система имеет единственное решение, если

2. система имеет бесчисленное множество решений, если

3. система не имеет решений, если

Здесь п- число неизвестных системы.

Замечание. Для облегчения нахождения решения системы в случае ее совместности, удобнее находить ранг матриц А и путем приведения их к ступенчатому виду.

Пример 5. Найти все решения системы линейных уравнений

Решение. Будем рассматривать две матрицы

Найдем ранги этих матриц, но так как матрица А полностью содержится в матрице , то можно привести матрицу к ступенчатому виду, сделать выводы о рангах матриц А и , а затем сделать выводы о совместности или несовместности системы уравнений.