Тема 1. Элементы линейной алгебры

Практическое занятие №1

Определители

 

Вычисление определителей

По определению, определители второго порядка находят по формуле

 

.

 

Задание 1.  Вычислить определители второго порядка:

 

Пример 1.

 

Пример 2.

 

Определители третьего порядка находят по формуле

 

 

 

Вычисления проводят по схеме:

Зада

ние 2.  Вычислить определители третьего порядка:

 

Пример 3.

 

 

Для удобства можно вычислять определитель, дописывая справа первый и второй столбец, после чего элементы выбираются параллельно главной диагонали и параллельно второй диагонали:

 

 

 

Пример 4.

 

 

Разберем понятия минор элемента и алгебраическое дополнение элемента.

Минором  элемента определителя называется определитель,  полученный из данного путем вычеркиванием  строки и  столбца, на пересечении которых находится элемент

Задание 3.  Найти миноры элементов определителя .

 

Для нахождения минора  в определителе найдем элемент  - это элемент, стоящий в первой строке и в третьем столбце:

По аналогии находим остальные миноры:

 

 

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятого со знаком (+) если сумма номеров строки и столбца четная и со знаком (-) если эта сумма нечетная, то есть

 

Задание 4.   Для рассмотренного выше определителя найти алгебраические дополнения  элементов определителя.

 В задании 3 найдены миноры , пользуясь полученными значениями имеем:

, выбирается знак + , так как сумма номеров строки и столбца 1+3=4 – четная.

, выбирается знак - , так как сумма номеров строки и столбца 2+1=3 – нечетная.

, выбирается знак - , так как сумма номеров строки и столбца 3+2=5 – нечетная.

 

Найдем

 

 

Свойства определителей:

Задание 5. На основании каких свойств определители равны нулю:

 

 

 

Решение. а) в силу свойства 3: Если одна строка или столбец состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. В заданном определителе второй столбец состоит из нулей

б) в силу свойства 5: Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю. В заданном определителе имеется 2 одинаковые строки – первая и третья.

в) в силу свойства 6: Если в определителе две строки или два столбца пропорциональны, то он равен нулю. В определителе пропорциональны соответствующие элементы 1 и 3 столбца.

г) в силу свойства 9: Если в определителе элементы некоторой строки или столбца представляют собой линейную комбинацию соответствующих элементов других строк или столбцов, то определитель равен нулю.

 

 

В этом определителе элементы третьего столбца получены путем вычитания из элементов 1 столбца соответствующих элементов 2истолбца, то есть имеет место комбинация элементов: III=I-II.

Задание 5. Вычислить определитель, разлагая его по элементам 3 строки:

 

 

В силу свойства 10 определителей можно записать разложение по 3 строке в виде:

 

 

Найдем алгебраические дополнения

 

 

Получим

 

.

 

Это свойство используется для вычисления определителей четвертого, пятого порядков и выше. А именно, с помощью такого разложения можно свести вычисление определителя к вычислению определителей более низкого порядка.

 Задание 6. Вычислить определитель четвертого порядка

 

 

Для облегчения вычисления, выберем строку или столбец, содержащие наибольшее число нулевых элементов, в нашем определителе в 3 столбце имеется 2 нуля. Будем вычислять определитель, применяя разложение по элементам 3 столбца:

 

 

Найдем алгебраические дополнения , остальные находить не нужно, так как при вычислении они будут умножаться на 0.

 

 

 

В результате, получим