Тема 1. Элементы линейной алгебры

Лекция 1. Определители

 

Определение 1. Определителем п-го порядка называется число detA=Δ(A), получающееся для квадратной таблицы элементов , по следующему правилу:

 

 

 

 

Вычисление определителей более высокого порядка является сложным, однако пользуясь свойствами определителей можно реализовать вычисление определителей высоких порядков с помощью определителей низших порядков. Приведем основные свойства определителей. Для наглядной демонстрации свойств воспользуемся записью определителей третьего порядка в виде:

,

где номер элемента соответствует номеру строки, а столбцы обозначены разными буквами: a, b и  c – соответствуют первому, второму и третьему столбцам.

1. При транспонировании определителя, то есть замены строк на столбцы, величина определителя не меняется:

Это свойство говорит о равносильности строк и столбцов определителя

2. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) можно выносить за знак определителя:

 

3. Если одна строка или столбец состоит из нулей, то такой определитель равен нулю:

4. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак на противоположный:

 

5. Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю:

6. Если в определителе две строки или два столбца пропорциональны, то он равен нулю:

7. Если в определителе элементы некоторой строки или столбца представляют собой сумму элементов, то этот определитель можно представить в виде суммы определителей:

 

8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя при этом не изменится:

 

Определение 2. Линейной комбинацией элементов х₁, х₂,…, х_п называется выражение вида: α₁х₁+ α₂х₂+…+ α_пх_п, где α₁,α₂,…, α_п– действительные числа.

9. Если в определителе элементы некоторой строки или столбца представляют собой линейную комбинацию соответствующих элементов других строк или столбцов, то определитель равен нулю:

 

Определение 3. Минором  элемента  определителя называется определитель,  полученный из данного путем вычеркиванием строки и  столбца на пересечении которых находится элемент

Определение 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятого со знаком (+) если сумма номеров строки и столбца четная и со знаком (-) если эта сумма нечетная, то есть

10. Определитель равен сумме произведений элементов строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения этих элементов:

11. Сумма произведений элементов строки или столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки или столбца равна нулю: