Практическое занятие 16.2.
Коэффициент корреляции Фехнера
Изучим ещё один подход к оценке корреляционной связи, который предложил немецкий психолог Г. Фехнер. Коэффициент корреляции Фехнера тоже является ранговым коэффициентом, но в отличие от коэффициента Спирмена использует лишь два ранга: «да-нет», «больше / меньше среднего».
Задача 1.
Имеются выборочные данные по n=8 студентам: X – количество прогулов за некоторый период времени и Y – суммарная успеваемость за этот период:
|
Таблица 1 |
||||||||
|
Х |
12 |
9 |
8 |
14 |
15 |
11 |
10 |
15 |
|
У |
42 |
107 |
100 |
60 |
78 |
79 |
90 |
54 |
Найти коэффициент корреляции Фехнера, сделать вывод.
Решение.
По условию даны количественные показатели, найдём среднее количество прогулов:
после чего каждому значению хi присваиваем свой ранг:
– если хi больше либо равно 
, то ставим «плюс»;
– и если хi меньше, чем , то «минус».
Аналогично находим:
– среднюю успеваемость и каждому значению yi присваиваем ранг по тому же принципу:
– если 
, то «плюс»;
– если 
, то «минус».
Все полученные значения удобно собрать в таблицу:
|
Таблица 2 |
||||
|
|
Ранг |
|
Ранг |
Совпадение (1) либо несовпадение (0) рангов |
|
12 |
+ |
42 |
- |
0 |
|
9 |
- |
107 |
+ |
0 |
|
8 |
- |
100 |
+ |
0 |
|
14 |
+ |
60 |
- |
0 |
|
15 |
+ |
78 |
+ |
1 |
|
11 |
- |
79 |
+ |
0 |
|
10 |
- |
90 |
+ |
0 |
|
15 |
+ |
54 |
- |
0 |
|
94 |
|
610 |
суммы |
|
В каждой паре (xi; yi) нужно сравнить ранги: если знаки совпадают, то ставим единичку (правый столбец), а если не совпадают – то ноль.
В чём логика такого
ранжирования и сравнения? Если студент прогуливает меньше среднего 
, то логично, что его успеваемость должна быть выше средней 
. И наоборот, если прогулов больше 
– то и успевает хуже . И, как мы видим, всё так и есть, за исключение одного случая
под номером 5, который и имеет прогулов больше среднего 
и успевает выше среднего 
.
Осталось подсчитать количество совпадений (впрочем, считать тут нечего): nc=1, количество несовпадений: nн=n-nс=8-1=7 и вычислить коэффициент корреляции Фехнера:
таким образом, существует сильная обратная корреляционная зависимость суммарной успеваемости У от количества прогулов Х.
Этот результат мы уже получали, когда рассчитывали: линейную корреляция и получили в результате r≈-0,72, а при подсчете коэффициента ранговой корреляции Спирмена – rs≈-0,78.
Коэффициент корреляции Фехнера также
называют коэффициентом корреляции знаков. И характеризует он степень
согласованности отклонений соответствующих значений xi,
yi относительно
своих средних 
,
.
Следующее задание по социологии:
Задача 2.
По результатам выборочного исследования 10 сотрудников организации получены следующие данные:
|
Таблица 3 |
||||||||||
|
Уровень IQ, баллы |
79 |
101 |
122 |
95 |
113 |
136 |
117 |
92 |
106 |
86 |
|
Зар. плата, ден.ед. |
42,2 |
55,6 |
60,3 |
57,3 |
54,1 |
65,4 |
70 |
62,5 |
74,5 |
54 |
Высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости размера заработной платы от уровня IQ. Вычислить коэффициент корреляции Фехнера между показателями, сделать выводы.
Мы уже отмечали, что коэффициент Фехнера особо уместен, когда в исследовании есть гипотеза о сопоставлении показателей по принципу «да / нет», «больше / меньше среднего». Но существуют и «противопоказания». Так, если среди эмпирических данных есть числа, сильно отличающиеся от средних значений, то подход Фехнера становится непригоден. Это характерно для многих нелинейных зависимостей.
Решение: чем выше IQ сотрудников, тем больше может быть их средняя заработная плата. Таким образом, предполагаем наличие прямой («чем больше, тем больше») корреляционной зависимости заработной платы от уровня IQ.
Вычислим средние значения признаков:
Каждому значению xi присвоим ранг:
«+», если 
и
«–», если 
.
Аналогично присвоим ранги значениям yi:
Полученные результаты внесем в таблицу, с учетом того, что
|
Таблица 4 |
||||
|
|
Ранг |
|
Ранг |
Совпадение (1) либо несовпадение (0) рангов |
|
79 |
- |
47,2 |
- |
1 |
|
101 |
- |
55,6 |
- |
1 |
|
122 |
+ |
60,3 |
+ |
1 |
|
95 |
- |
57,3 |
- |
1 |
|
113 |
+ |
54,1 |
- |
0 |
|
136 |
+ |
65,4 |
+ |
1 |
|
117 |
+ |
70 |
+ |
1 |
|
92 |
- |
62,5 |
+ |
0 |
|
106 |
+ |
74,5 |
+ |
1 |
|
86 |
- |
54 |
- |
1 |
|
1047 |
600,9 |
суммы |
|
|
Сравним ранги в каждой паре (xi, yi) (правый столбец) и подсчитаем количество совпадений: nc=8. Найдём количество несовпадений:
nн=n-nc=10-8=2.
Вычислим коэффициент корреляции Фехнера:
таким образом, существует заметная прямая корреляционная зависимость заработной платы от IQ, что подтверждает выдвинутое предположение.