Практическое занятие 16.1.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

На этом занятии познакомимся с понятием ранговой корреляции. Приведем несложный пример.

Представьте, что в вазе лежит яблоко, киви, банан, апельсин и мандарин. Как можно проранжировать это множество? Одна из возможностей: пронумеровать фрукты по возрастанию (либо убыванию) их массы. На первом месте самый лёгкий, на втором потяжелее, на третьем – ещё более тяжелый, … и на последнем – самый тяжелый:

Таблица 1
Фрукт	Масса, г	Ранг
Яблоко	143	3
Киви	120	2
Банан	189	4
Апельсин	256	5
Мандарин	71	1

Таким образом, каждому фрукту присвоен свой ранг (порядковый номер) по количественному критерию – массе, а именно, по возрастанию массы.

Но есть другие качественные критерий. Расположим эти фрукты в порядке личного вкусового предпочтения: что бы хотелось съесть в первую, вторую, третью, четвёртую и, наконец, последнюю очередь:

Таблица 2
Фрукт	Ранг
Яблоко	5
Киви	4
Банан	2
Апельсин	3
Мандарин	1

Таким образом, каждому фрукту тоже присвоен свой ранг.

Интересно сравнить качественный признак с количественным. Для этого нужно сопоставить соответствующие ранги по фруктам и оценить степень их близости:

Таблица 3
Фрукт	Масса, г	Ранг по массе	Ранг по вкусу
Яблоко	143	3	5
Киви	120	2	4
Банан	189	4	2
Апельсин	256	5	3
Мандарин	71	1	1

Иными словами, нужно определить, насколько тесна корреляционная зависимость вкуса от массы фрукта. Появляется возможность сравнить ранги – чтобы выяснить, насколько они коррелируют (совпадают). Есть математическая оценка этой связи, и называется она коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Задача.

Имеются выборочные данные по n=8 студентам: X – количество прогулов за некоторый период времени и У – суммарная успеваемость за этот период:

Таблица 4
Х	12	9	8	14	15	11	10	15
У	42	107	100	60	78	79	90	54

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена, сделать вывод.

Ранее мы вычислили линейный коэффициент корреляции r≈-0,72, что говорит о сильной обратной корреляционной зависимости Y – суммарной успеваемости от X – количества прогулов.

Было найдено уравнение линейной регрессии y=-6,0485x-147,32 – это прямая, которая наилучшим образом (по сравнению с другими прямыми) приближает эмпирические точки (х_i; y_i):

Рисунок 1 – Линия регрессии

Но у такого подхода могут быть изъяны. Во-первых, прогулы и успеваемость – это величины дискретные (прерывные), но мы приблизили их непрерывной функцией (линейной). И во-вторых, зависимость может быть гораздо более сложной. Когда прогулов немного, успеваемость, вероятно, падает несущественно; когда их количество растёт – ситуация начинает ухудшаться, и, наконец, с некоторого момента достижения стремительно падают. Возможно, удастся подобрать кривую, удачно приближающую точки, но у нас мало данных (8 наблюдений всего).

Поэтому в качестве альтернативы уместно рассмотреть ранговый подход.

Сначала рассмотрим признак-фактор Х и для удобства упорядочим количество прогулов x_i по возрастанию. Теперь каждому значению x_i легко присвоить свой ранг d_xi и записать ранги:

Таблица 5
x_i			x_i	d_xi			d_xi
12		8	12	5		8	1
9		9	9	2		9	2
8		10	8	1		10	3
14	→	11	14	6	→	11	4
15		12	15	7		12	5
11		14	11	4		14	6
10		15	10	3		15	7
15		15	15	8		15	8

И ещё заметим такой момент, у нас есть одинаковые значения x₅=15, x₈=15, но ранги у них разные (7 и 8). В подобных ситуациях обычно находят средний арифметический ранг, который присваивают каждой варианте.

В нашей задаче одинаковых значений два, поэтому их средний ранг составит: – вот теперь всё справедливо, относим дробный ранг 7,5 и к варианте x₅=15 и к варианте x₈=15.

Аналогично ранжируем значения y_i признака-результата Y– обязательно по возрастанию значений. Ранги d_yi легко проставить без фактической сортировки значений y_i:

Таблица 6
x_i	d_xi	y_i	d_yi
12	5	42	1
9	2	107	8
8	1	100	7
14	6	60	3
15	7,5	78	4
11	4	79	5
10	3	90	6
15	7,5	54	2

Среди значений y_i нет одинаковых, и поэтому ранги не нуждаются в дополнительной корректировке.

После ранжирования полезно выполнить проверку. Суммы «иксовых» и «игрековых» рангов должны совпадать и равняться , в нашей задаче объём выборки составляет n=8 и обе суммы равны .

Оценим тесноту связи между рангами. Для этого нужно вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена, и это – есть в точности линейный коэффициент корреляции Пирсона между рангами d_xi и d_yi.

Если нет дробных рангов, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s удобно вычислить по упрощенной формуле:

где n – объем совокупности, а – квадраты разностей между соответствующими рангами.

Если же дробные ранги есть (это означает, что есть одинаковые значения x_i и / или y_i), то возможны варианты. В том случае, если точность вычислений не критична и дробных рангов не так много, можно пользоваться той же формулой, но она будет давать приближённый результат:

В нашей задаче дробные ранги есть, и мы выберем упрощенный вариант. Для этого вычислим разности соответствующих рангов d_i=d_xi-d_yi , их квадраты d_i²=(d_xi-d_yi)² и сумму . Заполним расчётную таблицу:

Таблица 7
x_i	d_xi	y_i	d_yi	d_i=d_xi-d_yi	d_i²
12	5	42	1	4	16
9	2	107	8	-6	36
8	1	100	7	-6	36
14	6	60	3	3	9
15	7,5	78	4	3,5	12,25
11	4	79	5	-1	1
10	3	90	6	-3	9
15	7,5	54	2	5,5	30,25
	36	=	36	суммы	149,5

Так как среди рангов есть дробные, то формула даёт лишь приближенный результат:

Поскольку r_s – это линейный коэффициент корреляции между рангами, то его интерпретация будет такой же. Коэффициент ранговой корреляции изменяется в пределах и чем он ближе по модулю к единице, тем теснее ранговая корреляционная зависимость.

Для оценки тесноты связи используем шкалу Чеддока.

Таблица 8 - шкала Чеддока
Диапазон значений	Ранговая корреляционная зависимость У от Х
0-0,1	практически отсутствует
0,1-0,3	слабая
0,3-0,5	умеренная
0,5-0,7	заметная
0,7-0,9	сильная
0,9-0,99	очень сильная
0,99-1	практически линейная зависимость рангов

при этом если r<0, то корреляционная связь обратная, а если r>0, то прямая и записываем ответ: r_s≈-0,7798, таким образом, существует сильная обратная корреляционная зависимость Y – суммарной успеваемости от X – количества прогулов.

К недостатку рангового коэффициента корреляции Спирмена можно отнести тот факт, что он практически ничего не говорит о форме зависимости. Но эта форма может быть трудноопределима или не определима вовсе. Как, например, при сопоставлении качественных признаков. По этой причине ранговый подход нашёл широчайшее применение в психологии, социологии и других гуманитарных направлениях.