Практическое занятие 15.2.

Значимость коэффициентов и доверительные интервалы для

двухфакторной линейной модели

Задача.

По результатам выборочного исследования n=8 торговых предприятий региона были получены отчётные данные за предыдущий год:

Таблица 1
№ п/п	Число оборотов оборотных средств, раз	Трудоемкость продаж, чел./1млн.ден.ед.	Чистая прибыль, млн.ден.ед.
1	4	12	42
2	6,2	9	107
3	6,1	8	100
4	5,4	14	60
5	5,9	15	78
6	6	11	79
7	5,6	10	90
8	5,2	15	54

На лекции и предыдущем практическом занятии нами были получены уравнение регрессии:

y=-0,1708+22,044x₁-3,9084x₂,

парные коэффициенты корреляции:

, ,  

Требуется:

– проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии на уровне α=0,05;

– определить соответствующие доверительные интервалы для коэффициентов;

– спрогнозировать среднеожидаемую прибыль предприятия при х₁=6,5 оборотах и х₂=10 чел./1 млн. ден.ед.

Решение.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии на уровне значимости α=0,05. При этом рассмотрим лишь ключевые факторные коэффициенты b₁, b₂.

Алгоритм такой же, как и в однофакторной модели. Но сначала повторим схему действий.

Уравнение y=-0,1708+22,044x₁-3,9084x₂ получено по результатам выборки. Но существует генеральная совокупность торговых предприятий региона и генеральное уравнение у=В₀+В₁х₁+В₂х₂. И возникает вопрос, насколько полученные выборочные значения b₁=22,044, b₂=- 3,9084 далеки от истинных значений В₁, В₂?

Для проверки статистической значимости полученных значений используем аппарат статистических гипотез.

1) Проверим значимость коэффициента b₁=22,044.

Рассмотрим:

нулевую гипотезу H₀:B₁=0 – о том, что соответствующий коэффициент генерального уравнения у=В₀+В₁х₁+В₂х₂ равен нулю.

По существу, это означает, что полученный выборочный результат b₁=22,044 обусловлен случайностью (малой выборкой, в частности) и на самом деле чистая прибыль не зависит от количества оборотов оборотных средств.

В качестве конкурирующей рассмотрим H₁:B₁≠0 – гипотезу о том, что линейная корреляционная зависимость прибыли от оборотов существует.

Для проверки гипотезы H₀ на уровне значимости α используем статистический критерий

где – значение выборочного коэффициента при 1-й факторной переменной, а – его стандартная ошибка.

Случайная величина T имеет распределение Стьюдента с количеством степеней свободы k=n-m-1, где m – количество факторов модели. Так как в нашей задаче факторов два, m=2 , поэтому k=n-3.

Для уровня значимости α=0,05 и количества степеней свободы

k=n-3=8-3=5

по соответствующей таблице находим критическое значение двусторонней области

t_кр.=t_{двуст.кр.}(α,k)= t_{двуст.кр.}(0,05; 5)≈2,5706.

Найдём наблюдаемое значение критерия . Если оно попадёт в «красную» область (t_набл.<-t_кр. либо t_набл.>t_кр.), то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной; если же -t_кр<t_набл.<t_кр, то оснований отвергать нулевую гипотезу на данном уровне значимости – нет.

Рисунок 1 - Критическая область

Вычислим стандартную ошибку коэффициента, учитывая, что m=2-факторная модель и значения, полученные на предыдущих занятиях:

Наблюдаемое значение критерия:

поэтому на уровне значимости α=0,05 гипотезу H₀:B₁=0 отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы H₁:B₁≠0.

Вывод: коэффициент b₁=22,044 статистически значимо отличен от нуля, и полученное значение вряд ли объяснимо случайными факторами.

2) Аналогично проверяем статистическую значимость коэффициента b₂=-3,9084, гипотезу H₀:B₂=0 против конкурирующей гипотезы H₁:B₂≠0.

Вычислим стандартную ошибку 2-го коэффициента:

и наблюдаемое значение критерия:

поэтому на уровне значимости α=0,05 гипотезу H₀:B₂=0 отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы H₁:B₂≠0.

Вывод: коэффициент b₂=-3,9084 статистически значим.

Определим соответствующие доверительные интервалы.

Для первого коэффициента:

 (млн. ден.ед.) – таким образом, с доверительной вероятностью γ=1-α=1-0,05=0,95 данный интервал содержит истинное значение генерального коэффициента В₁.

И аналогично для второго коэффициента:

 (млн. ден.ед.) – таким образом, с доверительной вероятностью γ=0,95 данный интервал содержит истинное значение генерального коэффициента В₂.

Спрогнозируем среднеожидаемую прибыль предприятия при х₁=6,5 оборотах и трудоёмкости  х₂=10 чел./1 млн.:

у(6,5; 10)=-0,1708+22,044·6,5-3,9084·10≈104,03 млн.ден.ед.