Практическое занятие 14.2.

Нелинейная регрессия

На предыдущем занятии мы рассмотрели общую модель однофакторной регрессии, а также изучили линейный случай. На этом занятии эта тема получает логичное продолжение. Как подобрать вид регрессии разберем на следующих занятиях. Возможны такие основные виды регрессии:

Экспоненциальная регрессия

Гиперболическая регрессия

Степенная регрессия

Параболическая регрессия

Логарифмическая регрессия

Все регрессии строятся по одному шаблону, рассмотрим построение одной из этих линий.

Задача 1.

По результатам 12 лет имеются следующие данные:

Таблица 1
X	9	12	16	17	18	23	26	27	28	28	31	33
Y	1570	1676	1188	1118	1389	1261	1231	1074	1179	1071	1097	909

где Х – средняя цена товара по торговым точкам региона (ден. ед.), а У – общее количество проданных за год товаров (тыс. штук).

Требуется:

1) Методом наименьших квадратов найти функцию спроса у=ах^b, выполнить чертёж.

2) Вычислить индексы детерминации и корреляции и проверить значимость построенной модели на уровне α=0,05.

3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

4) Определить коэффициент эластичности спроса.

1) Составим уравнение регрессионной зависимости спроса у=ах^b от цены товара. Почему именно степенная регрессия? Многие примеры показывают, что именно степенная регрессия удачно моделирует спрос.

Приведем расчётную таблицу:

Таблица 2
9	1570	2,1972	7,3588	4,8278	16,1690
12	1676	2,4849	7,4242	6,1748	18,4484
16	1188	2,7726	7,0800	7,6872	19,6300
17	1118	2,8332	7,0193	8,0271	19,8872
18	1389	2,8904	7,2363	8,3542	20,9157
23	1261	3,1355	7,1397	9,8313	22,3864
26	1231	3,2581	7,1156	10,6152	23,1833
27	1074	3,2958	6,9791	10,8625	23,0021
28	1179	3,3322	7,0724	11,1036	23,5668
28	1071	3,3322	6,9763	11,1036	23,2466
31	1097	3,4340	7,0003	11,7923	24,0391
33	909	3,4965	6,8123	12,2256	23,8194
Сумма	14763	36,4626	85,2145	112,6052	258,2938

Коэффициенты регрессии у=ах^b найдём из решения системы:

, где A=lna.

В нашем случае объём совокупности n=12 получим:

Таблица 3
xi	yi	lnxi	lnyi	ln^2xi	lnxi· lnyi
Ʃ	14763	36,4626	85,2145	112,6052	258,2938

Систему решим по формулам Крамера:

,

система имеет единственное решение.

,

после чего находим сам коэффициент:

.

Найдем коэффициент b:

Таким образом получим степенную регрессионную зависимость количества проданных товаров от цены: y=ax^b =3519,9x^-0,35.

Изобразим на чертеже эмпирические точки и график регрессии:

Рисунок 1 - Эмпирические точки и график регрессии

По полученному графику можно сказать, что при увеличении цены спрос сначала снизился, а затем уже снижается медленнее. Возможно это связано с тем, какой это товар.

2) Вычислим индексы детерминации и корреляции. Для этого найдём среднее значение признака-результата  и заполним ещё одну расчётную таблицу:

xi	yi
9	1570	115430,1	1631,344	3763,03892	0,0390724
12	1676	198693,1	1475,084	40367,0521	0,119878
16	1188	1785,063	1333,793	21255,5072	0,1227211
17	1118	12600,06	1305,79	35264,9311	0,1679692
18	1389	25201,56	1279,926	11897,0813	0,0785268
23	1261	945,5625	1174,696	7448,33706	0,0684407
26	1231	0,5625	1125,355	11160,8065	0,0858202
27	1074	24414,06	1110,588	1338,68761	0,0340671
28	1179	2626,563	1096,541	6799,42851	0,0699395
28	1071	25360,56	1096,541	652,360699	0,0238481
31	1097	17755,56	1058,166	1508,0929	0,0354003
33	909	103201,6	1035,262	15942,1969	0,1389025
Сумма		528014,3		157397,521	0,9845861

В результате получили, что общая сумма квадратов Q=528014,3, остаточная сумма квадратов Q_e≈157397,521 и индекс детерминации:

– таким образом, в рамках построенной модели спрос на 70,19% зависит от изменения цены, а оставшаяся часть вариации (29,81%) спроса обусловлена факторами, не учтёнными моделью.

Вычислим индекс корреляции:

 – таким образом, существует сильная корреляционная зависимость количества проданных товаров от цены.

На уровне значимости α=0,05 проверим нулевую гипотезу (генеральный индекс детерминации равен нулю), против конкурирующей гипотезы .

Используем статистический критерий

где – значение выборочного индекса детерминации.

Для α=0,05 и количества степеней свободы k₁=1, k₂=12-2=10 по соответствующей таблице определим критическое значение критерия:

F_кр.= F_кр.(α; k₁; k₂)= F_кр.(0,05; 1; 10)≈4,9646

Наблюдаемое значение критерия:

попало в критическую область:

Рисунок 2 – Критическая область

поэтому на уровне значимости α=0,05 гипотезу отвергаем в пользу гипотезы .

Вывод: выборочное значение статистически значимо, следовательно, статистически значимо и выборочное уравнение y=3519,9x^-0,35 степенной регрессии.

3) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

– таким образом, регрессионные значения у(х_i) отличаются от соответствующих эмпирических значений y_i в среднем на 8,2%, что является хорошим результатом.

4) Определим коэффициент эластичности ε.

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов изменится значение признака результата Y при увеличении признака-фактора X на 1%. В случае степенной регрессии y=ax^b коэффициент эластичности ε=b – постоянен и в точности равен параметру b.

В нашей задаче y=3519,9x^-0,35 и ε≈-0,35 – таким образом, при увеличении цены (значения x) на один процент – спрос на товар (значение y) уменьшается примерно на 0,35%. Таким образом, спрос падает медленнее, чем растёт цена. Математически этот факт можно записать так:  – и это означает, что такой товар неэластичен по спросу.

Если , то спрос падает быстрее, нежели растёт цена. Такой товар называют эластичным по спросу. Это значит, что его легко заменить или вообще отказаться от покупки.