Практическое занятие 4.2.
Случайные величины. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин
В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина (НСВ)может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы. В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями распределения. На этом занятии рассмотрим нахождение числовых характеристик непрерывных случайных величин.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:
Задача 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание величины Х.
Решение.
Найдем математическое ожидание
Задача 2. Найти математическое ожидание величины Х, заданной функцией распределения
Решение.
Найдем функцию плотности распределения:
Следовательно, математическое ожидание равно
Свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины:
1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной величине: М(С)=С.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)×М(У).
4) Математическое ожидание суммы случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).
Дисперсией непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется
Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется
Так же, как и для дискретной случайной величины, для непрерывной случайной величины можно получить формулу
Свойства дисперсии сохраняются и для непрерывных случайных величин:
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С)=0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ)=С2D(Х).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х+У)=D(Х)+D(У).
Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х–У)=D(Х)+D(У).
Задача 3. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (2;5). Найти математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
Функция плотности случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (a;b), определяется формулой
Для условия задачи получим
Найдем математическое ожидание
Найдем дисперсию
Заметим, что математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на интервале (a;b), можно найти по формулам:
, .
Несложно проверить, что математическое ожидание и дисперсия найдены правильно:
, .
Задача 4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, распределенной по показательному закону
Решение.
Можно доказать, что математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, распределенной по показательному закону
находятся по формулам:
, .
По условию задачи: λ=4. Следовательно,
, .