Практическое занятие 4.2.

 

Случайные величины. Числовые характеристики непрерывных

случайных величин

 

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина (НСВ)может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы. В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями распределения. На этом занятии рассмотрим нахождение числовых характеристик непрерывных случайных величин.

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:

 

 

Задача 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения

 

 

Найти математическое ожидание величины Х.

 

Решение.

Найдем математическое ожидание

 


 

Задача 2. Найти математическое ожидание величины Х, заданной функцией распределения

 

 

Решение.

Найдем функцию плотности распределения:

 

 

Следовательно, математическое ожидание равно

 

 

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины:

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной величине: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)×М(У).

4) Математическое ожидание суммы случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).

 

Дисперсией непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется

 

 

Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется

 

 

Так же, как и для дискретной случайной величины, для непрерывной случайной величины можно получить формулу

 

 

Свойства дисперсии сохраняются и для непрерывных случайных величин:

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ)=С2D(Х).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х+У)=D(Х)+D(У).

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х–У)=D(Х)+D(У).

 

Задача 3. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (2;5). Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Функция плотности случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (a;b), определяется формулой

 

 

Для условия задачи получим

 

 

Найдем математическое ожидание

 

 

Найдем дисперсию

 

 

Заметим, что математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на интервале (a;b), можно найти по формулам:

 

, .

 

Несложно проверить, что математическое ожидание и дисперсия найдены правильно:

 

, .

 

Задача 4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, распределенной по показательному закону

 

 

Решение.

Можно доказать, что математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, распределенной по показательному закону

 

 

находятся по формулам:

 

, .

 

По условию задачи: λ=4.  Следовательно,

 

, .