Практическое занятие 4.1.
Случайные величины. Функции распределения
непрерывных случайных величин
Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и вероятностей. Такой способ задания не является общим, для непрерывных случайных величин он неприменим. Для задания непрерывных случайных величин используют функции распределения.
Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше х: F(x)=p(X<x).
Свойство функции распределения
1) .
2) Функция F неубывающая.
3)
4)
Важной особенностью является тот факт, что функция распределения любой непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна.
Функция f(x), представляющая собой производную функции распределения:, называется плотностью распределения случайной величины Х.
Основные свойства плотности распределения f(x).
1. f(x)³0, "х;
2. ;
3. ;
4.
Задача 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана равенством
а) Найти коэффициент а.
б) Найти плотность распределения f(x).
в) Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,25; 0,5).
Решение.
а) Так как функция F(х) непрерывна, F(1)=1 при х=1 имеем: а=1. Следовательно, функция распределения имеет вид:
б) Плотность распределения случайной величины Х есть
в) .
Задача 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (10; 50).
Решение.
Воспользуемся формулой
По условию a=30, α=10, β=50, σ=10.
Задача 3. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (1;6). Записать функцию распределения и функцию плотности заданной случайной величины и построить их графики
Решение.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (a,b) задается формулой:
По условиям задачи получаем функцию: