Практическое занятие 4.1.

 

Случайные величины. Функции распределения

непрерывных случайных величин

 

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и вероятностей. Такой способ задания не является общим, для непрерывных случайных величин он неприменим. Для задания непрерывных случайных величин используют функции распределения.

Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше х: F(x)=p(X<x).

 

Свойство функции распределения

1) .

 

2) Функция F неубывающая.

 

3)

 

4)

 

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения любой непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна

 

Функция f(x), представляющая собой производную функции распределения:, называется плотностью распределения случайной величины Х.

 

Основные свойства плотности распределения f(x).

 

1. f(x)³0, "х;

2. ;

3. ;

4.

 

Задача 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана равенством

 

 

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения f(x).

в) Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,25; 0,5).

 

Решение.

а) Так как функция F(х) непрерывна, F(1)=1 при х=1 имеем: а=1. Следовательно, функция распределения имеет вид:

 

 

б) Плотность распределения случайной величины Х есть

 

 

в) .

 

Задача 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (10; 50).

Решение.

Воспользуемся формулой 

 

 

По условию a=30,  α=10, β=50, σ=10.

 

 

 

Задача 3. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (1;6). Записать функцию распределения и функцию плотности заданной случайной величины и построить их графики

Решение.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (a,b) задается формулой:

 

 

 

 По условиям задачи получаем функцию: