Практическое занятие 3.2.

Случайные величины. Числовые характеристики дискретных

случайных величин

Как известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу таких важных характеристик относятся: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_пр_п.

Заметим, что М(Х) есть постоянная величина.

Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним.

Задача 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х с рядом распределения

Х	0	2	5	10
р	0,5	0,25	0,15	0,1

Решение.

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных.

Решение. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует что Х может принимать значения 1, 2, 3. При этом

Следовательно,

Х	1	2	3
p

Поэтому

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной величине: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)×М(У).

4) Математическое ожидание суммы случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).

Задача 3. Независимые случайные величины Х и У заданы законами распределения:

Х	5	2	4	У	7	9
р	0,6	0,1	0,3	р	0,8	0,2

Найти математическое ожидание случайной величины ХУ

Решение.

1 способ. Составим закон распределения случайной величины ХУ

ХУ	35	14	28	45	18	36
р	0,48	0,08	0,24	0,12	0,02	0,06

Проверка: 0,48+0,08+0,24+0,12+0,06=1.

Найдем математическое ожидание

М(ХУ)= 35·0,48+14·0,08+28·0,24+45·0,12+18·0,02+36·0,06=

=16,8+1,12+6,72+5,4+0,36+2,16=32,56.

2 способ. Найдем математическое ожидание М(Х) и М(У):

М(Х)= 5·0,6+2·0,1+4·0,3=3+0,2+1,2=4,4

М(У)= 7·0,8+9·0,2=5,6+1,8=7,4

Случайные величины Х и У независимые, по свойству математического ожидания:

М(ХУ)= М(Х)· М(У)=4,4·7,4=32,56.

Определение. Отклонением случайной величины Х называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х–М(Х).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М(Х–М(Х))=0.

Определим теперь числовую характеристику случайной величины, отвечающую за рассеяние ее значений вокруг математического ожидания.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(Х)=М(Х–М(Х))².

Задача 4. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана законом распределения

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение.

1 способ. По определению:

Найдем математическое ожидание:

.

Составим закон распределения отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Х-М(Х)	-1,3	-0,3	2,7
р	0,3	0,5	0,2

Составим закон распределения квадрата отклонения

(Х-М(Х))^2	1,69	0,09	7,29
р	0,3	0,5	0,2

Найдем дисперсию

2 способ. Дисперсию можно находить по формуле:

.

Составим закон распределения случайной величины Х²:

Х^2	1	4	25
р	0,3	0,5	0,2

.

Получим:

.

Среднеквадратическое отклонение будет равно:

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ)=С²D(Х).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х+У)=D(Х)+D(У).

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х–У)=D(Х)+D(У).

Задача 5. Случайные величины Х и У независимы.  Найти дисперсию дискретной случайной величины Z=2X-3Y, если известно, что D(X)=3, D(Y)=5.

Решение.

По свойствам дисперсии получим:

D(Z)=D(2X-3Y)=D(2X)+D(3X)=2²·D(X)+3²·D(Y)= 4·3+9·5=12+45=57.