Практическое занятие 3.1.

Случайные величины. Закон распределения

дискретной случайной величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Случайные величины обозначают через X, Y, Z,…, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, x₁, x₂, x₃,… .

Если известны все возможные значения х₁, х₂, х₃, …, х_n дискретной случайной величины Х и вероятности  р₁, р₂, р₃, …,  p_n, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения величины Х:

Х	х1	х2	х3	…	хn
р	р1	р2	р3	…	pn

причем р₁+р₂+ р₃+ …+ p_n=1.

Задача 1. В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение.

Случайная величина Х – размер выигрыша принимает значения:1000, 100 и 0.

Найдем вероятности по классической формуле:

Получим закон распределения:

Х	1000	100	0
р

Проверка:

Задача 2. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа «появлений шестерки».

Решение.

Так как вероятность события «появлений шестерки» в каждом испытании постоянна и равна . Для нахождения вероятностей событий воспользуемся формулой Бернулли: , где q- вероятность непоявления события, то есть появления любого числа кроме шестерки. Поэтому 

;

;

;

.

Получим закон распределения:

Z	3	2	1	0
р

Проверка:

Задача 3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение.

Очевидно, что случайная величина Х – число попаданий при двух выстрелах может принимать три значения:  0, 1, 2.

Пусть событие А₁ состоит в том, что первый стрелок попал в мишень, а событие А₂ – в том, что второй стрелок попал в мишень.

Найдем вероятности событий:

;

;

.

Таким образом, ряд распределения имеет вид

Х	0	1	2
р	0,12	0,46	0,42

Проверка: .

Задача 4. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой – 0,1, а для второй – 0,05. Выбрано 3 прибора. Прибор считается бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распределения для числа бракованных приборов среди трех приборов.

Решение. Случайная величина Х - число бракованных приборов среди трех выбранных. Случайная величина Х принимает четыре значения:  0, 1, 2, 3.

Пусть р₁=0,1 - вероятность брака для первой детали,

           р₂=0,05 - вероятность брака для второй детали,

тогда q₁=0,9 - вероятность того, что первая деталь стандартная,

q₂=0,95 - вероятность того, что вторая деталь стандартная,

Найдем вероятность того, что прибор бракованный, то есть из двух деталей хотя бы одна бракованная (1 или 2):

Р=р₁·q₂+ q₁·p₂+ р₁·р₂=0,1·0,95+0,9·0,05+0,1·0,05=0,145.

Далее для нахождения вероятностей событий воспользуемся формулой Бернулли:

Расчеты выполнить самостоятельно, сделать проверку.