Практическое занятие 2.2.

Случайные события.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Это занятие является естественным продолжением занятия о независимых испытаниях, на котором мы познакомились с формулой Бернулли и рассмотрели типовые примеры. Локальная и интегральная теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа) решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний.

Пример 1. Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200 раз.

По характерным признакам здесь следует применить формулу Бернулли

Применительно к нашей задаче:

п=400– общее количество испытаний;

m=200– количество бросков, в которых должен выпасть орёл;

p=0,5 – вероятность выпадения орла в каждом броске;

q=1-p=0,5 – вероятность выпадения решки.

Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз:

Локальная теорема Лапласа

Пусть проводится достаточно большое количество n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность P_п(m) того, что в n испытаниях событие A наступит ровно m раз, приближённо равна:

где – функция Гаусса,.

При этом, чем больше n, тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению, полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях, близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы является выполнение неравенства npq>10. Теперь решим пример 1.

Задача 1. Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет а) 200 раз; б) 225 раз.

Решение.

n=100 - общее количество независимых испытаний;

p=0,5 – вероятность выпадения орла в каждом броске;

q=1-p=0,5 – вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно m=200 раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа:

, , где .

Найдем .

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно m=225 раз.

Ответ: а) ; б)

Интегральная теорема Лапласа

Пример 2.

Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество достаточно велико. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80 раз.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий сумму:

Гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо, как вы знаете, называется интегрированием.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события A в каждом независимом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит не менее m₁ и не более m₂ раз, приближённо равна:

где – функция Лапласа,

, .

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность р не слишком мала/велика (ориентировочно npq>10).

Пример 3.

В силу условия задачи n=100, m₁=65, m₂=80, p=0,7, q=1-p=1-0,7=0,3

Найдем:

Получим

вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Ответ: