Практическое занятие 2.1.

Случайные события.

Формула полной вероятности.

Формула Байеса. Формула Бернулли

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A: .

События Н₁, Н₂, …, Н_п называются гипотезами.

Задача 1. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Возможны гипотезы:

Н₁ – выбрана 1 урна,

Н₂ – выбрана 2 урна,

Н₃– выбрана 3 урна.

Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3.

Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:

Следовательно,  

Задача 2. Студент приходит на экзамен, приготовив ответы на 45 вопросов из 60. Вероятность ответить правильно на знакомый вопрос равна 0,9, а на незнакомый – 0,05. Какова вероятность для студента правильно ответить на первый вопрос?

Решение.

Пусть событие А - первый вопрос студенту знаком,

В – что он ответил на первый вопрос правильно.

Тогда событие`А означает, что первый вопрос ему незнаком. Заметим, что события А и`А образуют полную группу событий (как любые два противоположные события).

По условию Р_А(В)=0,9, а Р_`А(В)=0,05.

По классическому определению вероятности,

Р()=1–Р(А)=1/4.

Нас интересует значение Р(В). По формуле полной вероятности

Формула Байеса (Теорема гипотез)

Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса

Формулы Байеса

Пусть в результате осуществления одной из гипотез событие A произошло. Тогда - вероятность того, что имела место гипотеза Bi.

Задача 3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение.

А - к бензоколонке подъехала машина на заправку.

H₁ - проезжает по шоссе грузовая машина

H₂ - проезжает по шоссе легковая машина

Вероятности гипотез: ,   

Условные вероятности: ,   

По формуле Байеса получим:

Задача 4. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7; в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах,

гипотезы: Н₁ – первый попал в мишень, а второй промахнулся,

Н₂ – первый промахнулся, а второй попал в мишень,

Н₃ – оба попали в мишень,

Н₄ – оба промахнулись.

Вероятности гипотез:

,  ,

, .

Так как  , , по формуле полной вероятности получим

.

Следовательно, по формуле Байеса вероятность того, что попал первый стрелок равна

Схема повторения испытаний. Формула Бернулли

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно m раз.  Эту вероятность будем обозначать Р_п(m).

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании, q = 1- p – не появления события А.

Задача 5. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изделий.

Решение. Так как вероятность выбрать изделие с особым знаком постоянно. Речь идет о повторении испытаний.

Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели четыре изделия.

Найдем вероятность этого по формуле Бернулли:

.

Следовательно,

Приближение Пуассона для схемы Бернулли

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний, поэтому интерес представляют теоремы, позволяющие вычислить Р_п(k) приближенно. Приведем одну из них.

Формула Пуассона

Вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз, при этом количество испытаний должно быть достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании весьма мала где ,   n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании.

Задача 6. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет 3 негодных изделия.

Решение.

По условию n=5000, p=0,0002. Так как число п (число наблюдений) велико, а вероятность появления события р (изделие повреждено в пути) – мало, применять формулу Бернулли нецелесообразно. Воспользуемся законом распределения Пуассона.

          Найдем λ: λ=n·p=5000·0,0002=1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна: