Практическое занятие 13.1.

Корреляционная таблица

Во многих примерах мы сталкиваемся с невозможностью учета влияния всех факторов на интересующие нас количественные соотношения между двумя основными величинами (показателями). Поэтому характеристика каждой такой взаимосвязи по данным отдельных наблюдений носит случайный характер и может выявить некоторые закономерности лишь по данным большого числа наблюдений.

В отличие от функциональной зависимости связь такого характера между двумя величинами называется статистической.

Для выяснения математической сущности связей такого вида на конкретном примере обратимся к данным табл. 1 распределения 100 растений житняка по общему весу х и по весу семян у каждого растения.

При составлении таблицы растения житняка сгруппированы в отдельные классы по общему весу и по весу семян, а затем определены середины классов, т. е. средние значения этих весов по каждому классу.

 Обозначим: переменная х - середина классов растений по общему весу, переменная у - середина классов по весу семян.

Таблица  1

y x	13	18	23	28	33	38	43	48	53	58	63	68	nx
25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125	3 − − − − − − − − − −	2 6 1 1 − − − − − − −	− 4 13 2 1 − − − − − −	− − 5 4 − − − − − − −	− − − 8 4 2 − − − − −	− − − 1 4 6 − − − − −	− − − − 2 6 1 − − − −	− − − − − 2 5 1 − − −	− − − − − − − 4 2 − −	− − − − − − − 1 4 1 −	− − − − − − − − 1 − −	− − − − − − − − 1 1 1	5 10 19 16 11 16 6 6 8 2 1
ny	3	10	20	9	14	11	9	8	6	6	1	3	100

х₁ = 25 обозначает середину класса растений с общим весом от 20 до 30 г,  х₂ = 35 — середину класса от 30 до 40 г и т. д.,  y₁=13— середину класса растений с весом семян от 10,5 до 15,5 г,  у₂ = 18 — середину класса от 15,5 до 20,5 г и т. д.

Обозначим:

п_х - численность класса (частота) растений с соответственным общим весом х, п_у - частота растений с соответственным весом семян у.

Так, число 19 в крайнем справа столбце (п_х) означает количество растений с общим весом (в среднем) 45 г (т. е. от 40 до 50 г), а число 20 в нижней строке (п_у) — количество растений с весом семян в (среднем) 23 г (т. е. от 20,5 до 25,5 г).

Числа во внутренних клетках - частоты соответственных комбинаций растений с некоторым общим весом х и с некоторым весом семян у.

Так, число 8 - количестве растений с общим весом 55 г (от 50 до 60 г) и с весом семян 33 г (от 30,5 до 35,5 г); число 4 (в третьем (внутреннем) столбце) - количество растений с общим весом (в среднем) 35 г и с весом семян (в среднем) 23 г, число 4 (в третьей снизу (внутренней) строке) - количество растений с общим весом 105 г и с весом семян 58 г.

В обобщенных обозначениях для чисел во внутренних клетках применяется символ п с двойным индексом п_ху.

Например, приведенное выше число 8 следовало бы обозначить символом n_4,5, так как оно указывает на количество растений с общим весом х₄ = 55 и с весом семян у₅ = 33.

По этим признакам число 4 из третьего столбца следовало бы обозначить символом n_2,3, а число 4 из третьей снизу строки — символом n_9,10.

Рассмотренная структура таблицы распределения растений житняка по общему весу и по весу семян отдельных растений раскрывает на этом частном примере общую структуру так называемой корреляционной таблицы, связывающей значения изучаемых показателей х и у.

Суммы чисел п_ху, расположенных во внутренних клетках, по строкам дают частоты соответственных значений переменной х.

Суммы чисел п_ху по столбцам дают частоты соответственных значений переменной y.

Таблица  2

y x	y1	y2	y3	y4	y5	…	…	…	…	yl	nx
x1 x2 x3 … … … xk	n1,1 n2,1 n3,1 … … … nk,1	n1,2 n2,2 n3,2 ... … … nk,2	n1,3 n2,3 n3,3 … … … nk,3	n1,4 n2,4 n3,4 … … … nk,4	n1,5 n2,5 n3,5 … … … nk,5	… … … … … … …	… … … … … … …	… … … … … … …	… … … … … … …	n1,l n2,l n3,l ... … … nk,l	nx1 nx2 nx3 ... … … nxk
ny	ny1	ny2	ny3	ny4	ny5	…	…	…	…	nyl	N

Так,

Суммирование всех чисел п_ху можно представить в виде последовательного суммирования сначала по каждой строке, а затем по крайнему правому столбцу п_х или в виде суммирования сначала по каждому столбцу, а затем по нижней строке п_у.

Совпадение результатов суммирования, выполненного в одном или в другом порядке, подтверждает правильность составления корреляционной таблицы:

Если совпадение результатов нарушено, то ошибка может быть устранена проверкой результатов суммирования по каждой строке и по каждому столбцу.

В частных случаях числа п_ху располагаются рядами, заполняющими не все клетки строк и столбцов. При этом

совокупность чисел в каждой строке—это ряд распределения значений у_, соответствующих данному значению х,

а совокупность чисел в столбце — ряд распределения значений х, соответствующих данному значению у.

По корреляционной таблице 1, составленной для растений житняка, можно, например, отметить, что значению x₅ = 65 соответствует п_х5 = 11 значений у со следующим рядом распределения этих значений:

значения у	23	33	38	43
их частоты	1	4	4	2

Распределение значений у, соответствующих значению х₁₁ = 125, состоит из одного значения y_l2 = 68.

Значению x₃ = 45 соответствует 19 значений у со следующим распределением:

значения у	18	23	28
их частоты	1	13	5

Так  же элементарно можно охарактеризовать распределения значений х, соответствующие тем или другим значениям у.

Корреляционная таблица, составленная на основании результатов наблюдения за значениями переменных х и у, позволяет после некоторой математической обработки ее данных подойти к разрешению двух основных задач корреляционного анализа: установлению формы корреляционной связи между переменными х и у и определению тесноты этой связи.

Рассмотрение в корреляционной таблице рядов распределения значений у, соответствующих последовательным значениям х, может выявить некоторые закономерности в смещении этих рядов.

Простейшие случаи, характерные для формы таких смещений, позволяют убедиться в том, что с возрастанием значений х в среднем растут или в среднем убывают значения у, что с возрастанием значений х значения у в среднем сначала возрастают, а затем убывают, или наоборот. К этим характеристикам связей между значениями х и  у приводит внешний вид расположения рядов распределения значений у, соответствующих последовательным значениям х.

Так, по данным корреляционной таблицы 1 распределения растений житняка смещение рядов распределения значений у показывает, что с возрастанием х (общего веса растения) возрастает в среднем и у (вес семян растения). Но эта связь выразится более отчетливо, если каждому значению х будет поставлено в соответствие частное среднее значение у, которое обозначим символом .

Вычисляя эти частные средние по правилу определения средней взвешенной, будем иметь:

 и т. д.

С помощью таких средних, вычисленных для всех значений х, исходная табл. 1 приводится к форме, отражающей связь между значениями х и соответствующими частными средними :

Таблица 3

x	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115	125
	15,0	25,0	24,1	29,9	35,7	40,5	47,2	53,0	58,4	63,0	68,0