Практическое занятие 12.2.

Линейный коэффициент корреляции

Рекомендуем использовать корреляционно-регрессионный анализ для ваших научных работ и практических исследований – наряду со статистическими гипотезами, это самая настоящая находка в плане новизны и творческих изысканий.

На этом практическом занятии рассмотрим следующие вопросы

– диаграмма рассеяния;

– уравнение линейной регрессии;

– линейный коэффициент корреляции;

– коэффициент детерминации

– коэффициент средней эластичности;

– бета-коэффициент.

Рассмотрим задачу

Задача 1.

Имеются выборочные данные по n=8 студентам: X – количество прогулов за некоторый период времени и Y – суммарная успеваемость за этот период:

X	12	9	8	14	15	11	10	15
Y	42	107	100	60	78	79	90	54

На прошлом практическом занятии выполнены задания:

1) Построена диаграмму рассеяния:

2) По диаграмме рассеяния, сделан вывод о линейной форме зависимости;

3) Найдено уравнение линейной регрессии Y на X: у=-6,0485х+147,32 и выполнен чертёж:

Требуется:

1) вычислить линейный коэффициент корреляции, сделать вывод;

2) вычислить коэффициент детерминации, сделать вывод;

3) вычислить коэффициент эластичности;

4) вычислить бета-коэффициент, сделать вывод

и проверка значимости линейной модели.

Решение:

Воспользуемся расчётной таблицей:


12	42	504	144	1764
9	107	963	81	11449
8	100	800	64	10000
14	60	840	196	3600
15	78	1170	225	6084
11	79	869	121	6241
10	90	900	100	8100
15	54	810	225	2916
Σ = 94	610	6856	1156	50154

Полученное уравнение у=-6,0485х+147,32 показывает, что с увеличением количества прогулов х на 1 единицу суммарная успеваемость падает в среднем на 6,0485 – примерно на 6 баллов. Об этом нам рассказал коэффициент «а».

И, конечно, осуществимо прогнозирование, так при х=5 среднеожидаемая успеваемость составит баллов. Нежелательно брать х, которые расположены слишком далеко от эмпирических точек, поскольку прогноз, скорее всего, не будет соответствовать действительности. Например, при х=0 значение у=147,32 может вообще оказаться невозможным, ибо у успеваемости есть свой фиксированный «потолок». И, разумеется, х или у в нашей задаче не могут быть отрицательными.

Второй вопрос касается тесноты зависимости. Очевидно, что чем ближе эмпирические точки к прямой, тем теснее линейная корреляционная зависимость – тем уравнение регрессии достовернее отражает ситуацию, и тем качественнее полученная модель. И наоборот, если многие точки разбросаны вдали от прямой, то признак У зависит от Х вовсе не линейно (если вообще зависит) и линейная функция плохо отражает реальную картину.

Прояснить данный вопрос нам поможет:

1) линейный коэффициент корреляции

Этот коэффициент как раз и оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости и более того, указывает её направление

Его полное название: выборочный линейный коэффициент парной корреляции Пирсона :

– «выборочный» – потому что мы рассматриваем выборочную совокупность;

– «линейный» – потому что он оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости;

– «парной» – потому что у нас два признака;

– и «Пирсона» – в честь английского статистика Карла Пирсона, автор понятия «корреляция».

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:

, где - среднее значение произведения признаков, , - средние значения признаков и σ_х, σ_у – стандартные отклонения признаков.

Вычислим средние значения:

Стандартные отклонения найдём как корни из соответствующих дисперсий, вычисленных по формуле:

Таким образом, коэффициент корреляции:

Пояснения: коэффициент корреляции может изменяться в пределах и чем он ближе по модулю к единице, тем теснее линейная корреляционная зависимость – тем ближе расположены точки к прямой, тем качественнее и достовернее линейная модель.

Если r=-1 либо r=1, то речь идёт о строгой линейной зависимости, при которой все эмпирические точки окажутся на построенной прямой.

Наоборот, чем ближе r к нулю, тем точки рассеяны дальше, тем линейная зависимость выражена меньше. Однако в последнем случае зависимость всё равно может быть.

Для оценки тесноты связи используем шкалу Чеддока.

При этом если r<0, то корреляционная связь обратная, а если r>0, то прямая.

В нашем случае , таким образом, существует сильная обратная линейная корреляционная зависимость Y – суммарной успеваемости от X – количества прогулов.

Линейный коэффициент корреляции – это частный аналог эмпирического корреляционного отношения. Но в отличие от отношения, он показывает не только тесноту, но ещё и направление зависимости, ну и, конечно, здесь определена её форма (линейная).

2) Коэффициент детерминации

– это частный аналог эмпирического коэффициента детерминации – есть квадрат коэффициента корреляции: R²=r² – коэффициент детерминации показывает долю вариации признака-результата Y, которая обусловлена воздействием признака-фактора X.

В нашей задаче: R²=r²≈(-0,7193)²≈0,5174 – таким образом, в рамках построенной модели успеваемость на 51,74% зависит от количества прогулов. Оставшаяся часть вариации успеваемости (48,26%) обусловлена другими причинами.

Очевидно, что линейный коэффициент детерминации может изменяться в пределах , и чем он ближе к единице, тем удачнее линейная модель приближает эмпирические данные.

3) Вычислим коэффициент средней эластичности

Разберёмся, что такое эластичность. Это восприимчивость. Податливость. Представьте, что уровень тревожности в обществе увеличился на 1%. А Петя стал больше тревожиться всего на 0,3%. Таким образом, Петя неэластичен к тревожности. Маша в то же время стала тревожиться больше на 5%. Таким образом, Маша эластична к тревожности.

Иными словами, эластичность Э – это количество процентов, на которое изменяется признак-результат при увеличении признака-фактора на 1%. Если , то зависимый показатель неэластичен к воздействию признака-фактора. Если же – то эластичен.

Функция эластичности имеет вид: , где у(х) – функция регрессии, а – её производная. И в подавляющем большинстве случаев эластичность зависит от значения х, так, для линейной регрессии получаем: – и мы можем вычислить эластичность в той или иной точке х. Но чаще рассчитывают средний коэффициент эластичности, по формуле: .

В нашей задаче: – таким образом, при увеличении количества прогулов на 1% успеваемость уменьшается в среднем на 0,93%.

Можно сказать, что эластичность близка к нейтральной – количество прогулов растёт и успеваемость падает примерно такими же темпами.

4) Бета – коэффициент β

Это ещё один относительный показатель влияния фактора на результат. β – это количество средних квадратических отклонений, на которое меняется признак-результат при увеличении признака-фактора на одно среднее квадратическое отклонение.

В чём смысл показателя? Давайте посмотрим на уравнение регрессии у=-6,0485х+147,32 и конкретно на коэффициент a=-6,0485.

Вопрос: это много или мало? (с точки зрения влияния прогулов на успеваемость). Ответ не очевиден. Если «а» очень велико по модулю, то это ещё не значит, что влияние существенно. И наоборот, «а» может составлять какие-то маленькие значения, но влияние окажется значительным. Всё относительно и всё зависит от колеблемости показателей, а эта самая колеблемость измеряется стандартными отклонениями. Которые и нужно сопоставить:

–

таким образом, при увеличении количества прогулов на одно стандартное отклонение успеваемость уменьшается примерно на 0,72 своего стандартного отклонения.

Второй способ решения, в котором мы сначала находим коэффициент корреляции, а затем уравнение регрессии.

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле: , где σ_х, σ_у – стандартные отклонения признаков Х, У.

Выражение в числителе называют корреляционным моментом или коэффициентом ковариации (совместной вариации) признаков, он рассчитывается следующим образом: , где n – объём статистической совокупности, а , - средние значения признаков. Данный коэффициент показывает, насколько согласованно отклоняются парные значения от своих средних в ту или иную сторону. Формулу можно упростить, в результате чего получится ранее использованная версия, без подробных выкладок: . Но сейчас мы пойдём другим путём.

Заполним расчётную таблицу:

Прогулы,	Плюшки,
12	42	0,25	-34,25	-8,5625	0,0625	1173,063
9	107	-2,75	30,75	-84,5625	7,5625	945,5625
8	100	-3,75	23,75	-89,0625	14,0625	564,0625
14	60	2,25	-16,25	-36,5625	5,0625	264,0625
15	78	3,25	1,75	5,6875	10,5625	3,0625
11	79	-0,75	2,75	-2,0625	0,5625	7,5625
10	90	-1,75	13,75	-24,0625	3,0625	189,0625
15	54	3,25	-22,25	-72,3125	10,5625	495,0625
94	610	: суммы:		-311,5	51,5	3641,5