Практическое занятие 9.1.

Гипотеза о законе распределения

генеральной совокупности. Критерий

согласия Пирсона

Рассмотрим генеральную совокупность, распределение которой неизвестно. Однако есть основание полагать, что она распределена по некоторому закону Z (чаще всего, нормально). Это предположение (об этом поговорим позже) может появиться как до, так и в результате статистического исследования, когда мы извлекли и изучили выборку объёма n.

И нам требуется на уровне значимости a проверить нулевую гипотезу H₀ – о том, что генеральная совокупность распределена по закону Z против конкурирующей гипотезы H₁ о том, что она по нему НЕ распределена.

Как проверить эту гипотезу? Как мы выяснили ранее, выборочные данные группируются в дискретный или интервальный вариационный   ряд   с   вариантами x_i и   соответствующими частотами n_i:

xi	x1	x2	x3	…	xm	Ʃ
ni	n1	n2	n3	…	nm	n

Так как эти данные взяты из практического опыта, то выборочный вариационный ряд называют эмпирическим рядом, а частоты n_i – эмпирическими частотами. Далее строятся графики, рассчитываются выборочные характеристики (выборочная средняя , выборочная дисперсия s_в² и другие).

На основе некоторых выборочных характеристик по специальным формулам, которые зависят от проверяемого закона Z, строится теоретическое распределение, где для тех же вариант x₁, x₂, x₃, ..., x_m рассчитываются теоретические частоты n₁¢, n₂¢, n₃¢, ..., n_m¢. Теоретические частоты моделируют закон Z и наилучшим образом приближают эмпирические данные, при этом их сумма ån_i¢ чуть меньше либо равна сумме эмпирических частот ån_i = n.

И возникает вопрос: значимо или незначимо различие между эмпирическими n₁, n₂, n₃,…, n_m и соответствующими теоретическими n₁¢, n₂¢, n₃¢, ..., n_m¢ частотами?

Для ответа на это вопрос рассматривают различные статистические критерии, которые называют критериями согласия, и наиболее популярный из них критерий согласия Пирсона:

Критерий согласия Пирсона

Величина c² случайная. Поэтому в разных выборках мы будем получать разные, заранее непредсказуемые эмпирические частоты.

При достаточно большом n (объёме выборки) распределение этой случайной величины близко к распределению хи-квадрат с количеством степеней свободы k=m-r-1, где r – количество оцениваемых параметров закона Z.

Далее строим правосторонняя критическая область:

Критическое значение c²_кр=c²_кр(a;k) можно найти с помощью  cоответствующей таблицы.

Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по эмпирическим и найденным теоретическим частотам: .

Если c²_набл.<c²_кр, то на уровне значимости a нет оснований отвергать гипотезу H₀ о том, что генеральная совокупность распределена по закону Z. То есть, различие между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо и, скорее всего, обусловлено случайными факторами (случайностью самой выборки, способом отбора, группировки данных и т.д.)

Если c²_набл.>c²_кр, то нулевую гипотезу отвергаем, иными словами эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо, и это различие вряд ли случайно.

Обратим внимание на формулировку, которую мы выделили жирным цветом – такая формулировка напоминает нам о том, что принятие статистической гипотезы ещё не означает её истинность, поскольку существует β-вероятность того, что мы приняли неправильную гипотезу (совершили ошибку второго рода).

Задача 1.

По результатам выборочного исследования найдено распределение средних удоев молока в фермерском хозяйстве (литров) от одной коровы за день:

Литры	7,5- 10,5	10,5- 13,5	13,5- 16,5	16,5- 19,5	19,5- 22,5	22,5- 25,5	25,5- 28,5	28,5- 31,5	31,5- 34,5
Коров	2	6	10	17	33	11	9	7	5

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность (средний удой коров всей фермы) распределена нормально. Построить эмпирическую гистограмму и теоретическую кривую.

Решение.

 На уровне значимости a проверим гипотезу H₀ о нормальном распределении генеральной совокупности против конкурирующей гипотезы H₁ о том, что она так не распределена. Используем критерий согласия Пирсона .

Эмпирические частоты известны из данного интервального ряда, и осталось найти теоретические. Для этого нужно вычислить выборочную среднюю  и выборочное стандартное отклонение s_в.

Выберем в качестве вариант x_i середины частичных интервалов (длина каждого интервала h=3) и заполним расчётную таблицу:

интервалы	xi	ni	xini	xi^2ni
7,5-10,5	9	2	18	162
10,5-13,5	12	6	72	864
13,5-16,5	15	10	150	2250
16,5-19,5	18	17	306	5508
19,5-22,5	21	33	693	14553
22,5-25,5	24	11	264	6336
25,5-28,5	27	9	243	6561
28,5-31,5	30	7	210	6300
31,5-34,5	33	5	165	5445
Ʃ		100	2121	47979

Вычислим выборочную среднюю: литра.

Выборочную дисперсию вычислим по формуле:

.

И выборочное стандартное отклонение: литра, по причине большого объёма выборки его исправлением можно пренебречь.

Теоретические частоты рассчитываются по формуле:

,  где- функция Гаусса, а .

Входные данные известны: n =100, h = 3, = 21,21, s_в » 5,47 и мы заполняем ещё одну расчётную таблицу:

xi	ni	zi	f(zi)
9	2	-2,2320	0,0330	1,81
12	6	-1,6836	0,0967	5,30
15	10	-1,1352	0,2095	11,49
18	17	-0,5868	0,3358	18,42
21	33	-0,0384	0,3986	21,86
24	11	0,5100	0,3503	19,21
27	9	1,0584	0,2279	12,50
30	7	1,6068	0,1097	6,02
33	5	2,1552	0,0391	2,14

Покажем расчеты 1 строчки: n =100, h = 3, = 21,21, s_в » 5,47

,     

.

Теоретическая частота:.

Построим эмпирическую гистограмму с высотой «ступенек» ni и теоретическую кривую, которая проходит через точки (xi , ni¢):

Нормальная кривая построена на основе выборочных данных (выборочной средней и стандартного отклонения), она проходит через точки  (x_i , n_i¢) и наилучшим образом приближает гистограмму.

При этом сумма теоретических частот  оказалась чуть меньше объёма выборки . Это объяснимо тем, что эмпирическая гистограмма конечна, а нормальная кривая – бесконечна, и небольшой «недобор» теоретических частот приходится на участки, лежащие слева и справа от гистограммы.

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы оценить, насколько значимо отличаются эмпирические частоты (ступеньки гистограммы) от соответствующих теоретических частот (уровень коричневых точек). Но перед тем как сравнивать теоретические и эмпирические частоты, следует объединить интервалы с малыми (меньше пяти) частотами.

В данном случае объединяем два первых и два последних интервала, для этого суммируем частоты, обведённые красным цветом, и получаем оранжевые результаты:

Это нужно для того, чтобы сгладить неоправданно большое расхождением между малыми частотами по краям выборки.

Найдём критическое значение критерия согласия Пирсона. Количество степеней свободы определяется по формуле k=m-r-1, где m – количество интервалов, а r–количество оцениваемых параметров рассматриваемого закона распределения. Так как мы объединяли интервалы, то теперь их не девять, а m=7. У нормального закона мы оцениваем r=2 параметра.

Пояснение: –это оценка неизвестного генерального математического ожидания, а s_в–это оценка неизвестного генерального стандартного отклонения, итого два оцениваемых параметра.

(Это значение можно найти по таблице критических значений распределения хи-квадрат)

Таким образом, k=7-2-1= 4 и для уровня значимости a = 0,05:

.

При    нулевая гипотеза отвергается, а при таких оснований нет:

Вычислим наблюдаемое значение критерия – (сумма расхождений между частотами), и для этого удобно заполнить ещё одну расчётную таблицу:

ni
8	7,12	0,1100
10	11,49	0,1923
17	18,42	0,1092
33	21,86	5,6746
11	19,21	3,5087
9	12,50	0,9778
12	8,16	1,8053
Сумма		12,3779

В нижней строке таблицы у нас получилось готовое значение  , поэтому на уровне значимости 0,05 гипотезу H_о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.

Иными словами, различие между эмпирическими и теоретическими частотами статистически значимо и вряд ли объяснимо случайными факторами. При этом с вероятностью 5% мы совершили ошибку 1-го рода (то есть, генеральная совокупность на самом деле распределена нормально, но мы отвергли верную нулевую гипотезу).

Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.

В чём может быть причина? Ведь по теореме Ляпунова, большинство коров не оказывают практически никакого влияния на удой других коров, и поэтому распределение генеральной совокупности должно быть близко к нормальному.

Причины могут быть разными. Например, неоднородный состав совокупности (коровы разной породы), или на ферме есть VIP-хлев, где коровы получают улучшенное питание). А может быть, некоторые коровы больны и как раз оказывают существенное влияние на остальных, в связи с чем нарушается условие теоремы Ляпунова.

Интересно отметить, что при уменьшении уровня значимости до 0,01 критическое значение , и гипотеза о нормальном распределении уже принимается. Однако не нужно забывать, что здесь выросла b-вероятность того, что мы приняли неправильную гипотезу (совершили ошибку 2-го рода).

И, конечно, в случае сомнений имеет смысл увеличить объём выборки, чтобы провести повторное исследование.

Контрольные вопросы

1. Понятие статистической гипотезы

2. Нулевая и альтернативная гипотезы

3. Ошибки первого и второго рода

4. Процесс проверки статистической гипотезы

5. Гипотеза о генеральной средней нормального распределения

6. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности

7. Критерий согласия Пирсона