Практическое занятие 6.2.

 

Примеры нахождения числовых характеристик вариационных

 рядов

 

 

Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений. Однако на практике зачастую этого недостаточно. Такая ситуация возникает, когда следует уточнить те или иные сведения о ряде распределения, или когда имеется необходимость сравнить два ряда и более. При этом следует сравнивать однотипные вариационные ряды, т.е. такие ряды, которые получены при обработке сравнимых статистических данных.

Поэтому для дальнейшего изучения изменения значений случайной величины используют числовые характеристики вариационных рядов.

На предыдущих практических занятиях   были получены:  дискретный вариационный ряд частот  - первая и вторая строки таблицы 2, а дискретный вариационный ряд частостей – это первая и третья строки таблицы 2.

Таблица 2

 

Середины интервалов

305

315

325

335

345

355

365

375

385

395

Частоты

3

5

10

14

19

21

15

8

3

2

Частости

0,03

0,05

0,10

0,14

0,19

0,21

0,15

0,08

0,03

0,02

Накопленные частости

0,03

0,08

0,18

0,32

0,51

0,72

0,87

0,95

0,98

1

 

 

Найдем  числовые характеристики выборки по формулам:

выборочная средняя  ,

дисперсия ,

среднее квадратическое отклонение ,

асимметрия

эксцесс ,  где

 

 - моменты   - го порядка;

 - условные варианты;   - первоначальные варианты;

C- ложный нуль, т.е. варианта, имеющая наибольшую частоту либо  любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда);

 - шаг (разность между двумя соседними вариантами).

В рассматриваемой задаче  .

 

Таблица 3

 

305

3

-5

-15

75

-375

1875

768

315

5

-4

-20

80

-320

1280

405

325

10

-3

-30

90

-270

810

160

335

14

-2

-28

56

-112

810

160

345

19

-1

-19

19

-19

19

0

355

21

0

0

0

0

0

21

365

15

1

15

15

15

15

240

375

8

2

16

32

64

128

648

385

3

3

9

27

81

243

768

395

2

4

8

32

128

512

1250

 

=

=100

 

=

=-64

=

=426

=

=-808

=

=5106

=

=4274

 

Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества:

 


 

Контрольные суммы совпадают, следовательно, вычисления проведены правильно.

 

=

=100

=

=-64

=

=426

=

=-808

=

=5106

=

=4274

 

Найдем условные (начальные) моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

 


 

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, подставляя

  

  



Вычислим искомые числовые характеристики выборки:

 

выборочная средняя:  

дисперсия:

среднее квадратическое отклонение:

 

асимметрия:

 

эксцесс:

 

По полученным значениям асимметрии:  Напомним смысл полученного результата:

если , то распределение скошено вправо, если  – то влево.

При этом принята следующая условная градация:

если полученное значение по модулю меньше, чем 0,25, то асимметрия незначительна, если , то умеренная, и если , то существенная.

И чем меньше по модулю As, тем рассматриваемое эмпирическое распределение ближе к нормальному распределению с параметрами .

Рассмотрим полученное значение эксцесса:  Он характеризует высоту.

Если Ek>0, то эмпирическое распределение является более высоким («островершинным») – относительно «эталонного» нормального распределения с параметрами .

Если же Ek<0 – то более низким и пологим. И чем больше Ek по модулю, тем «аномальнее» высота в ту или иную сторону

 

Контрольные вопросы

1. Задача математической статистики.

2. Выборка. Генеральная совокупность.

3. Вариационный ряд. Частоты и относительные частоты.

4. Статистическое распределение для дискретной и непрерывной случайных величин.

5. Выборочное и генеральное средние значения.

6. Статистическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

7. Начальные и центральные эмпирические моменты

7. Асимметрия и эксцесс