Практическое занятие 5.2.

Выборочный метод. Пример

решения задачи

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - результатах наблюдений. Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений. Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от цели исследования.

Целью данного занятия является знакомство с некоторыми методами обработки статистических данных.

Задача.  Имеются следующие условные данные о размере квот в млн СДР (специальные права заимствования) 100 стран – членов Международного валютного фонда.

Задание:

1. Составить (приняв начало первого интервала равным 300) интервальный (с шириной интервала 10) и соответствующий ему дискретный вариационные ряды.

2. Посторить гистограмму  и полигон частостей (относительных частот) распределения.

3. Найти моду и медиану ( исходя из дискретного ряда).

4. Построить эмпирическую функцию распределения

353	326	344	324	339	332	324	344	349	352
348	316	329	354	358	302	325	324	351	333
341	312	331	351	304	345	332	382	342	351
396	341	353	318	325	354	338	321	398	359
376	355	382	342	374	354	358	332	368	343
344	376	324	339	372	366	381	334	369	332
371	312	334	361	304	362	354	366	378	348
352	362	356	364	372	342	344	346	353	334
336	364	352	348	347	368	329	335	363	312
378	342	354	363	361	366	354	364	348	351

Решение 1.  Составим интервальный вариационный ряд.

Частичными интервалами будут: 300-310, 310-320, 320-330, 330-340, 340-350, 350-360, 360-370, 370-380, 380-390, 390-400. Наибольшая варината равна 398, поэтому конец последнего интервала – 400.

Подсчитаем частоты, полагая, что каждому интервалу принадлежит лишь один из его концов (в нашем случае правый). Для удобства подсчета частот пользуются следующими обозначениями чисел.

Число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Обозначение числа

Учитывая результаты подсчета частот для данной задачи, составим расчетные таблицы 1 и 2.

Искомый интервальный вариационный ряд частот представляет первую и третью строки таблицы 1.

Таблица 1

Интервалы	300-310	310-320	320-330	330-340	340-350	350-360	360-370	370-380	380-390	390-400
Обозначе-ние числа
Частоты	3	5	10	14	19	21	15	8	3	2
Накоплен-ные частоты	3	3+5=8	8+10=18	18+14=32	32+19=51	51+21=72	72+15=87	87+8=95	95+3=98	98+2=100

Середины частичных интервалов интервального ряда принимают за варианты соответствующего дискретного ряда. В данном случае дискретный вариационный ряд частот представляет собой первую и вторую строки таблицы 2, а дискретный вариационный ряд частостей – это первая и третья строки таблицы 2.

Таблица 2

Середины интервалов	305	315	325	335	345	355	365	375	385	395
Частоты	3	5	10	14	19	21	15	8	3	2
Частости	0,03	0,05	0,10	0,14	0,19	0,21	0,15	0,08	0,03	0,02
Накопленные частости	0,03	0,08	0,18	0,32	0,51	0,72	0,87	0,95	0,98	1

2. Построим гистограмму и полигон частостей.

Для построения гистограммы частостей на оси абсцисс прямоугольной декартовой системы координат отложим интервалы 300-310, 310-320 и т.д. и на них как на основаниях строим прямоугольники с высотами, равными частостям интервалов (рисунок 1).

Рисунок 1 - Гистограмма

Для построения полигона частостей строим точки (305; 0,03), (315; 0,04), ..., (395; 0,02), соединяем их последовательного отрезками прямой. Чтобы полигон был замкнутой фигурой, строим еще две точки (295; 0) и (405; 0).

Рисунок 2 - Полигон

3. Найдем моду и медиану.

Середины интервалов	305	315	325	335	345	355	365	375	385	395
Частоты	3	5	10	14	19	21	15	8	3	2
Частости	0,03	0,05	0,10	0,14	0,19	0,21	0,15	0,08	0,03	0,02
Накопленные частости	0,03	0,08	0,18	0,32	0,51	0,72	0,87	0,95	0,98	1

Мода - значение признака с наибольшей частотой.

Медиана - значение признака, соответствующее первой накопленной частоте большей  объема совокупности.

Эмпирическая функция распределения

Пусть имеется выборочная совокупность значений некоторой случайной величины  объема  и каждому варианту их этой совокупности поставлена в соответствие его относительная частота.

Пусть далее  - некоторое действительное число, а  - число наблюдений (выборочных значений) случайной величины , при которых наблюдалось значение признака, меньшее .

Тогда число  является относительной частотой наблюдаемых в выборке значений величины , таким образом, относительная частота  есть функция от .

Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события . Обозначение:

По определению   = , где  - число наблюдений (выборочных значений) величины , меньших ;  - объем выборки.

Свойства эмпирической функции распределения:

Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку

Свойство 2.  - неубывающая функция.

Свойство 3. Если  - наименьшая варианта, то  при ;

 если  - наибольшая варианта, то  при

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Построим эмпирическую функцию распределения , где - число вариант, меньших , найдем, используя строку «накопленные частости» по полученной таблице 2

Середины интервалов	305	315	325	335	345	355	365	375	385	395
Частоты	3	5	10	14	19	21	15	8	3	2
Частости	0,03	0,05	0,10	0,14	0,19	0,21	0,15	0,08	0,03	0,02
Накопленные частости	0,03	0,08	0,18	0,32	0,51	0,72	0,87	0,95	0,98	1

Построим график функции  сначала на интервалах и , а затем в точках (310; 0,03) и др. Чтобы показать непрерывность изменения функции , полученные точки соединим отрезками прямой (рис. 3).

Рисунок 3 - график функции

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределенная имеет вид, приведенный ниже. График этой функции приведен на рис. 4. Скачки функция имеет в точках, которые соответствуют вариантам 305, 315 и т.д.

Рисунок 4.- график функции

Контрольные вопросы

1. Задача математической статистики.

2. Выборка. Генеральная совокупность.

3. Вариационный ряд. Частоты и относительные частоты.

4. Статистическое распределение для дискретной и непрерывной случайных величин.

5. Эмпирическая и теоретическая функции распределения.

6. Полигон распределения. Гистограмма относительных частот.