Практическое занятие 1.2.
Случайные события. Алгебра событий
Вероятность события
Вероятностью наступления
события А в некотором испытании называют отношение 
, где:
n– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;
m–количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А
Задача 1. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.
Решение: Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров.
Таким образом, общее число исходов: п=30
Рассмотрим событие: А – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют m=15 элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.
С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:
B – из урны будет извлечён красный шар;
C – из урны будет извлечён чёрный шар.
Событию B благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию C– 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:
; 
.
В нашем случае события A, B, C образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице:
.
Проверим это:
.
Ответ: a)
,
б) 
,
в) 
.
Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
Решение: Воспользуемся методом прямого перечисления исходов, записываем все возможные комбинации: 01, 03, 05, 07, 09; 10, 30, 50, 70, 90,
и подсчитываем их – всего: 10 исходов.
Благоприятствующий исход один: верный номер.
По классическому
определению: 
– вероятность того, что
абонент наберёт правильный номер.
Ответ: 0,1.
Задача 3. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
Решение: найдём общее количество исходов: 6·6=36 возможных комбинаций. Условимся записывать такую пару в виде (a,b), где a – цифра, выпавшая на 1-м кубике, b– цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:
(3,5) – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8.
а) Рассмотрим событие: А– при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: В– выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
2 очка: (1,1)
3 очка: (1,2), (2,1)
4 очка: (1,3), (3,1), (2,2)
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
вероятность того, что выпадет не более 4 очков.
Алгебра событий
Событием,
противоположным А,
называется событие 
, означающее, что
событие А не произошло.
Суммой
событий А и В
называется событие А+В (или 
), означающее, что
произошло хотя бы одно из событий А и В.
Произведением
событий А и В
называется событие АВ (или 
), означающее, что
произошли оба события А и В.
Разностью
событий А и В
называется событие А-В (или 
), означающее, что
событие А произошло, в то время как событие В не произошло.
Суть таких операций удобно демонстрировать на диаграммах Эйлера-Вена.
Рисунок 1 - Диаграммы Эйлера-Вена
Теорема сложения вероятностей
|
Теорема сложения вероятностей несовместных событий |
Вероятность появления одного из двух несовместных событий A или B (без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+ B) = P(A) + P(B).
|
|
Теорема сложения вероятностей совместных событий |
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий A, B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+ B) = P(A) + P(B) - P(AB).
|
Задача 4.
а) Пусть А = {сдать математику на «5»}, р(А) = 0,2
B = {сдать математику на «4»}, р(В) = 0,4
Найти вероятность события А+В = {сдать математику на «5» или на «4»}
Р(А + В) = 0,2 + 0,4 = 0,6.
б) А = {сдать математику на «5»}, р(А) = 0,6;
B = {сдать физику на «5»}, р(В) = 0,7.
Событие А+В = {сдать математику на «5» или сдать физику на «5»}.
Р(А + В) = 0,6+0,7=1,3 – нельзя!
так как вероятность не может быть больше 1.
События А и В совместны, так как можно сдать и математику, и физику на «5», следовательно,
P(A+ B) = P(A) + P(B) - P(AB)=0,6+0,7-0,6·0,7=1,3-0,42=0,88.
Определение. Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Понятие условной вероятности используется в тех случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.
Теоремы умножения вероятностей
|
Теорема умножения вероятностей независимых событий |
Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)× P(B).
|
|
Теорема умножения вероятностей зависимых событий |
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события:
|
Задача 5. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна р=0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.
Решение.
Пусть событие А- стрелок попал при первом выстреле,
событие В- стрелок попал при втором выстреле,
событие С- стрелок попал при третьем выстреле.
Нам нужно найти вероятность события Р(АВС):
Р(АВС)=Р(А)· Р(В)· Р(С)=0,9·0,9·0,9=0,729.
Задача 6. Студент знает 15 вопросов из 20. Найти вероятность того, что он ответит на 2 вопроса экзаменационного билета.
Решение.
Пусть событие А- студент ответит на первый вопрос,
событие В- студент ответит на второй вопрос
Найдем вероятность события Р(АВ), но события А и В зависимые, поэтому
.
Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из которых 3 туза. Поэтому
Задача 7. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность следующих событий:
А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
В – ровно одно попадание при двух выстрелах;
С – два попадания;
Д – ни одного попадания.
Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго. Тогда:
А= Н1+Н2;
В= Н1×`Н2+`Н1 ×Н2;
С= Н1×Н2;
Д=`Н1×`Н2.
События Н1 и Н2 независимы, поэтому
Р(С)=0,6×0,7=0,42;
Р(А)=0,6+0,7–0,42=0,88;
Р(В)=0,6×0,3+0,7×0,4=0,46 (т.к. события Н1×`Н2 и `Н1×Н2 несовместны);
Р(Д)=0,4×0,3=0,12.
События А и Д противоположны. Поэтому Р(Д) можно было найти как 1‑Р(А).