Раздел 5. Элементы корреляционно-

регрессионного анализа

Лекция 14. Уравнение линейной регрессии

План лекции

1. Корреляционное поле, выдвижение гипотезы о возможной форме зависимости;

2. Линейный коэффициент корреляции и детерминации;

3. Уравнение линейной регрессии Y на X.

Удобнее всего разобрать эти вопросы на примере.

Задача 1. Имеются выборочные данные по 40 предприятиям региона:

Таблица 1 - Выборочные данные по 40 предприятиям
Стоимость промышленно-производственных основных фондов	Суточная выработка сырья, тыс. ц.
Стоимость промышленно-производственных основных фондов	4-6	6-8	8-10	10-12
2,5-3,5	2
3,5-4,5	6	3
4,5-5,5	2	5	7
5,5-6,5		2	2	3
6,5-7,5			1	7

Требуется:

1) Определить признак-фактор X и признак-результат Y и высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости Y от X. Построить корреляционное поле и выдвинуть гипотезу о возможной форме зависимости.

2) Вычислить линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать выводы.

3) Найти уравнение линейной регрессии Y на X и изобразить соответствующую прямую на чертеже. Спрогнозировать среднюю суточную переработку сырья, когда стоимость основных фондов предприятий достигнет 9 млрд. руб.

Решение.

1) Прежде всего в подобных задачах нам нужно обосновать причинно-следственную связь между признаками (если это не сделано в условии). Очевидно, что чем больше стоимость основных фондов, тем крупнее предприятие и тем больше сырья оно способно переработать. Однако это не является непреложным правилом, ибо любое, самое крупное предприятие может неэффективно работать или даже простаивать. Тем не менее, общая тенденция состоит в том, что при увеличении стоимости фондов предприятий их средняя суточная переработка растёт. Такая зависимость называется корреляционной.

Мы предполагаем наличие прямой корреляционной зависимости суточной переработки сырья (признак-результат Y) от стоимости основных фондов (фактор X).

В данной таблице частоты располагаются преимущественно по диагонали – от левого верхнего до правого нижнего угла, что подтверждает прямое направление зависимости («чем больше, тем больше»).

Определим форму зависимости (линейная, квадратичная, экспоненциальная или какая-то другая). Простейший способ – графический, построить корреляционное поле. Для этого нужно немного модифицировать исходную таблицу, а именно

Перейдем от интервальных вариационных рядов (левый столбец и 2-я сверху строка) к дискретным, выбрав в качестве вариант и середины соответствующих интервалов:

Таблица 2 – Комбинационная таблица
Стоимость основных фондов,	Суточная выработка сырья,				Итого, n_i
Стоимость основных фондов,	5	7	9	11	Итого, n_i
3	2				2
4	6	3			9
5	2	5	7		14
6		2	2	3	7
7			1	7	8
Итого, m_j	10	10	10	10	40

Найдем суммы частот по серым строкам (правый столбец) и суммы частот по серым столбцам (нижняя строка), проверим итоговые суммы они должны быть равны объёму выборки n:

Обратите внимание, что значения признака-фактора расположены по вертикали в левом столбце, а значения признака-результата – по горизонтали в «шапке» таблицы. Именно такое расположение (а не наоборот) чаще всего встречается на практике. Однако оно не сильно удобно в техническом плане, в частности, для построения корреляционного поля:

Построим корреляционное поле

Рисунок 1 - Корреляционное поле

Ранее мы строили эмпирические линии регрессии – это простейший способ изобразить форму корреляционной зависимости. Однако гораздо удобнее привлечь на помощь функции.

Анализируя чертёж, приходим к выводу, что эмпирические точки «выстроились» примерно по прямой, что позволяет предположить наличие линейной корреляционной зависимости Y – суточной переработки сырья от X – стоимости основных фондов.

Далее нужно найти уравнение линейной регрессии y=ax+b, график которой проходит максимально близко к эмпирическим точкам (с учётом их «весов» – частот в серых полях комбинационной таблицы), а также

Оценим тесноту линейной корреляционной зависимости – насколько близко расположены точки к построенной прямой. Эта теснота оценивается с помощью линейного коэффициента корреляции:

2) Коэффициент корреляции вычислим по формуле

Найдем средние и стандартные отклонения .

Сначала разберёмся рассмотрим признак-фактор X. Для этого из комбинационной таблицы 2 выпишем значения и заполним расчётную таблицу:

Вычислим среднее значение и среднее квадратическое отклонение, как корень из дисперсии, вычисленной по формуле:

Аналогично, выберем значения у из комбинационной таблицы и заполняем расчетную таблицу для признака-результата Y:

Таблица 4 – Расчетная таблица для признака-результата Y
	5	7	9	11	Суммы
	10	10	10	10	40
	50	70	90	110	320
	250	490	810	1210	2760

после чего рассчитываем нужные показатели:

Теперь найдём среднее значение произведения признаков. Для этого вычислим все возможные произведения и на соответствующие ненулевые частоты , наглядно распишем (рис. 2):

Рисунок 2 – Схема вычисления всех возможных произведений и на соответствующие ненулевые частоты

Вычислим сумму этих произведений:

и искомую среднюю:

Таким образом, линейный коэффициент корреляции:

В результате получено положительное число и, согласно шкале Чеддока, существует сильная прямая линейная корреляционная зависимость Y суточной переработки сырья от X стоимости основных фондов.

Вычислим коэффициент детерминации:

, таким образом, в рамках построенной модели 69,12% вариации суточной переработки сырья обусловлено стоимостью основных фондов. Остальные 100-69,12=30,88% вариации обусловлено другими факторами.

3) Найдём уравнение y=ax+b линейной регрессии Y на X (именно так на). Здесь можно использовать формулы предыдущего занятия . Но есть другой вариант. Искомое уравнение имеет вид:

, в данной задаче получим:

примерно:

Полученное уравнение показывает, что при увеличении стоимости основных фондов на х=1 суточная переработка сырья увеличивается в среднем на 1,61 тысяч центнеров.

Это очень важный вывод, который часто требуется в заданиях, по сути, смысл коэффициента «а».

Найдём координаты двух точек для построения графика:

Отметим на чертеже и проведём линию регрессии

Рисунок 3 – Линия регрессии

Спрогнозируем среднюю суточную переработку сырья при стоимости основных фондов тыс. ц.

Кроме рассмотренного уравнения, существует второе уравнение линейной регрессии – X на Y, его можно составить по формуле:

и привести к виду:

полученное уравнение позволяет узнать средние значения х, соответствующие различным значениям у.

График регрессии также можно изобразить на чертеже, и он будет пересекать график в точке .

Таблица 3 – Расчетная таблица для признака-результата Х