Раздел 1. Элементы теории вероятностей

Лекция 4. Непрерывные случайные величины

План лекции

1. Функция распределения случайной величины;

2. Функция плотности распределения случайной величины;

3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин;

4. Равномерное распределение;

5. Показательное (экспоненциальное) распределение;

6. Нормально распределение.

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов.

1. Функция распределения случайной величины

Определение 1. Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше х: F(x)=p(X<x).

Теорема 1. (Свойство функции распределения).

1) .

2) Функция F неубывающая.

3)

4)

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения любой непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна!

2. Функция плотности распределения случайной величины

Определение 2. Функция f(x) представляющая собой производную функции распределения: называется плотностью распределения случайной величины Х.

Иногда функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины Х называют интегральной функцией распределения, а плотность распределения f(x) – дифференциальной функцией распределения.

Основные свойства плотности распределения f(x).

1. f(x)³0, "х;

2. ;

3. ;

4.

3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определение 3. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется

.

Определение 4. Дисперсией непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется

.

Определение 5. Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется

.

Так же, как и для дискретной случайной величины, для непрерывной случайной величины можно получить формулу

4. Равномерное распределение

Говорят, что случайная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если плотность ее распределения f(x) задана равенством

Так как

, то .

Для случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (a, b),

, .

5. Показательное (экспоненциальное) распределение

Говорят, что случайная величина Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если функция плотности ее распределения имеет вид

Для случайной величины Х, распределенной по показательному закону, имеем:

, .

Таким образом, для случайной величины Х, распределенной по показательному закону,  если .

6. Нормально распределение

Говорят, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, если плотность ее распределения есть

.

Заметим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами – а и s. Можно показать, что М(Х)=а, D(Х)= s², и, соответственно, s(Х)=s. Таким образом, случайная величина, распределенная по нормальному закону, полностью определяется своими математическим ожиданием и дисперсией.

Определение 1. Нормированным называется нормальное распределение с параметрами а=0 и s=1.

Плотность нормального нормированного распределения имеет вид . График этой функции называется нормальной кривой или кривой Гаусса и имеет вид:

Рисунок 1 – Кривая Гаусса

Функция  называется функцией Лапласа.

Очевидно, j(х) – четная, F(х) – нечетная. Функции j(х) и F(х) играют важную роль в теории вероятностей. Поэтому для определения их значений составлены таблицы.

Можно показать, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами а и s

.