Раздел 1. Элементы теории вероятностей

Лекция 3. Дискретные случайные величины

План лекции

1. Основные определения;

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины;

3. Дисперсия дискретной случайной величины;

4. Среднеквадратическое отклонение.

1. Основные определения

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Если известны все возможные значения х₁, х₂, х₃, …, х_n дискретной случайной величины Х и вероятности р₁, р₂, р₃, …, p_n, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения величины Х:

Х	х1	х2	х3	…	хn
р	р1	р2	р3	…	pn

причем р₁+р₂+ р₃+ …+ p_n=1

Пример 1. Записать закон распределения случайной величины Х, равной числу выпавших очков при броске симметричной игральной кости.

Решение. При броске игральной кости может выпасть от 1 до 6 очков, при этом, поскольку кость симметрична, эти события равновероятны. Так как сумма этих вероятностей должна быть равна 1, то каждая из них равна 1/6. Таким образом, закон распределения Х выглядит следующим образом:

Х	1	2	3	4	5	6
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_пр_п.

Заметим, что М(Х) есть постоянная величина.

Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним.

Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины Х из Примера 1.

Решение.

Теорема 1 (Свойства математического ожидания).

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной величине: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)×М(У).

4) Математическое ожидание суммы случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).

Определение 2. Отклонением случайной величины Х называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х–М(Х).

Теорема 2. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М(Х–М(Х))=0.

Определим теперь числовую характеристику случайной величины, отвечающую за рассеяние ее значений вокруг математического ожидания.

3. Дисперсией дискретной случайной величины

Определение 3. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(Х)=М(Х–М(Х))².

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Х, равной числу выпавших очков при броске симметричной игральной кости.

Решение. В Примере 2 показано, что М(Х)=3,5. Поэтому распределение отклонения выглядит следующим образом:

Х-М(Х)	–2,5	–1,5	–0,5	0,5	1,5	2,5
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

По определению дисперсии

Теорема 3. Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата Х и квадратом ее математического ожидания: D(Х)=М(Х²)–(М(Х))².

Теорема 4 (Свойства дисперсии).

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(СХ)=С²D(Х).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х+У)=D(Х)+D(У).

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х–У)=D(Х)+D(У).

4. Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднеквадратическое отклонение.

Определение 4. Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из ее дисперсии: .

Определение 5. Случайная величина называется нормированной, если ее математическое ожидание равно 0 и ее дисперсия равна 1.