Раздел 1. Элементы теории вероятностей

Лекция 2.Случайные события

План лекции

1. Формула полной вероятности;

2. Формула Байеса (Теорема гипотез);

3. Схема повторения испытаний. Формула Бернулли;

4. Приближение Пуассона для схемы Бернулли;

5. Локальная теорема Лапласа;

6. Интегральная теорема Лапласа.

1. Формула полной вероятности

Определение 1. Пусть событие А, может произойти только совместно с одним из событий B₁, B₂, …, B_п, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события B₁, B₂, …, B_п называются гипотезами.

10. Формула полной вероятности

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий  образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A: .

Пример 1.

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение: рассмотрим событие А – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти или не произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:

В₁ – будет выбрана 1-я урна; В₂– будет выбрана 2-я урна; В₃ – будет выбрана 3-я урна. Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:

.

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:  – вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-я урна. Далее находим , так как во второй урне только белые шары, в третьей урне одни чёрные шары,

По формуле полной вероятности: 

- вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ:

2. Формула Байеса (Теорема гипотез)

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в Примере 1 извлечение из урны черного шара говорит о том, что этой урной не могла быть вторая, в которой нет черных шаров, то есть Р_А(В₂)=0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса

11. Формула Байеса

Пусть в результате осуществления одной из гипотез событие A произошло. Тогда - вероятность того, что имела место гипотеза Bi.

Пример 2. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7; в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н₃ – оба попали, Н₄ – оба промахнулись.

Вероятности гипотез:

, , , .

Тогда

, .

Следовательно, по формуле полной вероятности

.

По формуле Байеса

.

3. Схема повторения испытаний. Формула Бернулли

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний.

12. Формула Бернулли

Вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз , n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании и q = 1- p – не появления события А.

Пример 3. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изделий.

Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели четыре изделия.

Найдем вероятность этого по формуле Бернулли:

.

Тогда .

4. Приближение Пуассона для схемы Бернулли

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний, поэтому интерес представляют теоремы, позволяющие вычислить Р_п(k) приближенно. Приведем одну из них.

13. Формула Пуассона

Вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз, при этом количество испытаний должно быть достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании весьма мала , где , n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании.

5. Локальная теорема Лапласа

14. Локальная теорема Лапласа

Пусть проводится достаточно большое количество n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность Pп(m) того, что в n испытаниях событие A наступит ровно m раз, приближённо равна: , где – функция Гаусса, .

При этом, чем больше n, тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению, полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях, близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы  является выполнение неравенства npq>10.

6. Интегральная теорема Лапласа

15. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события A в каждом независимом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит не менее m1 и не более m2 раз, приближённо равна: , где – функция Лапласа, , .

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность р не слишком мала/велика (ориентировочно npq>10).