Раздел 1. Элементы теории вероятностей

Лекция 1. Основные понятия теории

вероятностей

План лекции

Введение

1. События. Виды событий

2. Вероятность события

3. Алгебра событий

Введение

Теория вероятностей и математическая статистика являются двумя важными областями математики, которые связаны друг с другом и имеют широкое применение в различных науках, инженерии, экономике и других областях.

Вместе теория вероятностей и математическая статистика образуют мощный инструментарий для анализа и моделирования случайных явлений и данных. Они играют важную роль в научных исследованиях, принятии решений, прогнозировании и многих других областях, где требуется анализ статистических данных.

Наш курс мы начинаем со знакомства с основными понятиями теории вероятностей.

События. Виды событий

Одно из базовых понятий теории вероятностей– это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами A, B, C, D, E, F,… либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅,…. Исключение составляет буква P.

Запишем следующие случайные события:

A₀ – в результате броска монеты выпадет «орёл»;

B₅ – в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;

C_T – из колоды будет извлечена карта трефовой масти (по умолчанию колода считается полной).

Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).

Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие C_T становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие C_T достоверным. Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их рубашки неразличимы, т.е. колода не является краплёной. Причём, здесь под «крапом» понимаются даже не «умелые руки», ликвидирующие случайность вашего выигрыша, а видимые дефекты карт. Например, рубашка той же дамы треф может быть грязной, порванной, заклеенной скотчем…

Таким образом, при розыгрыше важного жребия всегда есть смысл невзначай посмотреть, а не одинаковы ли грани монеты;

Таблица 1. Виды событий

Равновозможные события	Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Несовместные события	События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий.
Совместные события	События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого.
Противоположные события	Противоположные события –это пара несовместных событий
Полная группа событий	Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.
Элементарность исхода (события)	Элементарное событие «нельзя разложить на другие события».

Например:

выпадение орла или решки при броске монеты;

выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;

извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды.

При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

 – в результате броска монеты выпадет орёл;

 – в результате броска монеты выпадет решка.

Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными.

Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики:

 – в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков;

 – в результате броска игрального кубика выпадет число очков, отличное от пяти.

Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны и противоположны.

Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:

 – в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;

 – … 2 очка;

 – … 3 очка;

– … 4 очка;

 – … 5 очков;

– … 6 очков.

События - несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий).

Ещё одно важное понятие, которое нам скоро потребуется – это элементарность исхода (события). Если совсем просто, то элементарное событие «нельзя разложить на другие события».

Например, события  элементарны, но событие  не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов).

События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого.

С_Т – из колоды карт будет извлечена трефа;

D₇ – из колоды карт будет извлечена семёрка.

Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого.

Понятие совместности охватывает и бoльшее количество событий:

D – завтра в 12.00 будет дождь;

G – завтра в 12.00 будет гроза;

F – завтра в 12.00 будет солнце.

Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба.

Вероятность события

Вероятностью наступления события А в некотором испытании называют отношение , где:

n–общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

m–количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А

Вероятности можно выразить и в процентах, но в теории вероятностей этого делать не принято.

Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах .

При этом

если , то событие А является невозможным,

если  – достоверным,

а если , то речь идёт о случайном событии.

Таблица 2.

1. Классическое определение вероятности	Вероятностью наступления события А в некотором испытании называют отношение , где n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A .
2. Геометрическое определение вероятности	Вероятность наступления события A в испытании равна отношению , где G – геометрическая мера (длина, площадь, объем), выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.
3. Статистическое определение вероятности	Вероятность наступления некоторого события A – есть относительная частота , где n – общее число фактически проведённых испытаний, а m – число испытаний, в которых появилось событие A .
4. Полная группа событий	Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:
5. Теорема сложения вероятностей противоположных событий	Сумма вероятностей противоположных событий равна  единице:
6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий	Вероятность появления одного из двух несовместных событий A или B (без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий: P(A+ B) = P(A) + P(B)
7. Теорема сложения вероятностей совместных событий	Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий A, B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
8. Теорема умножения вероятностей независимых событий	Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P(A)× P(B)
9. Теорема умножения вероятностей зависимых событий	Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события: .

В упрощенной версии записи решения вероятность противоположного события стандартно обозначается строчной буквой q. Например, если  – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то  – вероятность того, что он промахнётся.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий – логическую связку И.

1) Суммой двух событий А и В называется событие А+В которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие А или событие В.

2) Произведением двух событий А и В называют событие АВ, которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение АВ означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие А, и событие В.

Операции над множествами (событиями) удобно демонстрировать на диаграммах Эйлера-Вена:

Рисунок 1 - Диаграммы Эйлера-Вена