Бөлшек факторлы тәжірибе (БФТ)

Экспериментте ескерілетін факторлардың көп саны кезінде ПФЭ үлкен, шығынды болады және оны жүргізу үшін көп уақытты талап етеді, өйткені k өсуімен тәжірибе саны экспонент бойынша ұлғаяды, жоғарыда қараңыз. Егер априори процеске қандай да бір өзара іс-қимыл әсер етпейтіні белгілі болса, тәжірибе санын қысқартуға болады; шын мәнінде, нақты жағдайда, әсіресе жоғары ретті факторлардың кейбір өзара іс-қимылы (яғни символдардың көп санын қосқанда) шығу параметріне әсер етпейді. Бұл жағдайда ТФТ немесе бөлшек факторлық эксперимент (БФТ) деп аталатын бөлшек репликаларды пайдалануға болады.

Мысалы, y жауап функциясына әсер ететін Х1, Х2 және Х3 үш ескерілетін факторлар кезінде процестің математикалық сипаттамасын алу қажет.

1-ретті полином коэффициентін анықтау үшін ТФТ қолдану кезінде кестеде келтірілген жоспарлау матрицасына сәйкес сегіз тәжірибе (23) жүргізу қажет. 4.2. Тәжірибе нөмірлерінің саны оған сәйкес эксперимент жоспарланып отырған полином коэффициенттерінің санынан кем болмауы тиіс. Бұл жағдайда зерттелетін процесті сипаттайтын болжамды математикалық модель сегіз коэффициент бар полином (4.4) түріне ие. Алайда, егер Х₁, Х₂ және Х3 факторлары арасындағы өзара әрекеттесу болмаса, төрт тәжірибемен шектелуге болады. Бұл жағдайда кестеде келтірілген Х1 және Х2 екі факторы үшін ТФТ жоспарлау матрицасын пайдалануға болады. 4.1, онда х1бх2б белгілеуін оның жоғарғы және төменгі деңгейлеріндегі Хъ факторының өлшемсіз мәніне сәйкес келетін х3б-ға ауыстыра отырып. Бұл бағанадағы белгілердің кезектесуі басқа екі факторлардың (Х1 және х2) өлшемсіз мәндерін көбейту нәтижесіне сәйкес келеді, яғни жоспарлау матрицасындағы символдарды ауыстырғаннан кейін өзгеріссіз қалады, ол үшінші факторды енгізгеннен кейін ортогоналды болып қалады. Бұл жағдайда Эксперимент х1бх2б ТФТ бағанына сәйкес өзгеретін үшінші факторды қосумен қойылады (кесте. 4.1), ал болжамды математикалық модель факторлардың өзара әрекеттесуін ескермейтін 1-реттегі полиномның түріне ие болады, яғни.

Мұндай қысқартылған дизайн ТФТ жоспарына сәйкес қажетті 2к эксперименттің жартысын (біздің жағдайда сегіздің орнына төрт эксперимент) қамтиды және 2k PFE-ден алынған жартылай көшірме деп аталады. Мұндай жоспардың тағайындалуы: 2К-1 типті ТЭУ, мұндағы k - тәжірибеде ескерілген факторлардың саны; 1 - экспериментте ескерілген факторлармен алмастырылған өзара әсерлесулер саны. Қарастырылған үш фактор X1 X2 X3 үшін, 23-1 типті ЕЭУ жоспарлау матрицасы кестеде келтірілген түрде болады.

Берілген экспериментті жоспарлау оның нәтижелерін өңдеу және талдау кезінде полиномда Ьо-ның еркін мүшесі мен сызықтық мүшелер кезіндегі коэффициенттерді бағалауға мүмкіндік береді. Бірақ бұл ретте зерттелетін процесс факторларының өзара іс-қимыл әсерлерінің жауап беру функциясына толығымен жоқ немесе елеусіз әсер ету болжанады. Тек осы жағдайда ғана осы өзара әрекеттесуді ескеретін мүшелері жоқ полином ұсынған математикалық модель (оларға сәйкес келетін коэффициенттер нөлге тең болғандықтан) зерттелетін процеске барабар болуы мүмкін.

БФТ жоспарлау матрицасын пайдаланған кезде, біз бірнеше әсерлерді: факторлар мен олардың өзара әрекеттесуін бірлескен бағалауды аламыз. Шын мәнінде,

х_1б=х_2б х_3б

х_2б=х_1б х_3б

х_3б=х_1б х_2б

Сондықтан, жауап беру функциясының эксперименталды мәндері бойынша b₁, b₂ және b₃ сызықтық коэффициенттерінің бұдан әрі есептелетін мәндері факторлардың жауап беру функциясына әсер ету әсерін ескеретін коэффициенттердің мәндерін де әрдайым қамтитын болады. Нәтижесінде, полином коэффициенттерінің есептелген мәндері іс жүзінде мынадай болады:

мұнда b₁, b₂ және b₃ - полиномның сызықтық коэффициенттерінің мәндері ;

ал b' - әсер ету функциясына факторлардың өзара әрекеттесуінің әсері болған кезде олардың алынған мәндері.

Жиі БФТ-мен зерттеуді бастау мағынасы бар. Егер зерттеушіде бұрын эксперимент жоспарына енгізілмеген қандай да бір өзара іс-қимыл Шығыс параметріне әсер етуі мүмкін деген күмән пайда болса, ол жоспарлау матрицасын БФТ-ға немесе ТФТ-ға дейін кеңейту және оны қызықтыратын әсерлердің бөлек бағасын табу мүмкіндігіне ие болады.

Орталық композициялық жоспарлар

Жоғарыда сипатталған БФТ сызықтық модельді алу үшін, яғни экспериментті жоспарлаудың бірінші кезеңінде екі деңгейлі жоспарлау кезінде тәжірибе санын қысқарту үшін жиі қолданылады. Зерттеушінің "өрескел" модельден дәлірек модельдерге көшуі кезінде, мысалы, экстремум аймағын зерттеу кезінде, түрдің 1-ші ретті полиномынан 2-ші ретті полиномға өту жүзеге асырылады.

Екінші ретті полиномды есептеу үшін деңгейлер саны кем дегенде үш болуы тиіс. 3^k ТФТ K = 2 кезінде кем дегенде тоғыз тәжірибе жүргізу қажет, ал үш фактор (k = 3) үшін олардың саны 27-ге дейін күрт артады. Сондықтан, есепке алынатын факторлар санының көбеюі кезінде ТФТ 3³ қолдану тиімсіз, өйткені бұл жоспарлау эксперимент көлемінің күрт ұлғаюымен сипатталады. Бұл жағдайда (көп деңгейлі жоспарлау кезінде) тәжірибелердің санын қысқартудың басқа тәсілі пайдаланылады - орталық композициялық жоспарларды (ОКЖ) құру.

ОКЖ өзегі-желілік ортогональды жоспарлар, ол ОКЖ-ның үлкен артықшылығын қамтамасыз етеді. Шынында да, егер зерттелетін үдеріске сәйкес келетін математикалық модельдің сызықтығы туралы гипотеза эксперименталды деректерді талдау нәтижесінде расталмаса, онда жоғары ретті модельді алу үшін барлық эксперименттерді қайтадан қоюдың қажеті жоқ. Бірнеше арнайы жоспарланған эксперименттік нүктелерді қосу жеткілікті.

Көптеген факторлық кеңістіктің нүктелерінен тәжірибе санын азайту үшін олардың кейбір бөліктері таңдалуы мүмкін, онда тиісті тәжірибе саны және бөлшек факторлық жоспар бар. 2³ типті ТФТ жоспарының 2³"¹ типті бөлшекті факторлық эксперимент жоспарына (БФТ) трансформациясының геометриялық бейнесі 1 - суретте көрсетілген.

Сур.1. Факторлық кеңістікте ТФТ және БФТ жоспарларының графикалық бейнесі: а-үш жазықтыққа проекциялау әдісімен; б-бір жазықтықта орналаспаған төрт нүкте бойынша

ТФТ 2³ жоспары сегіз шыңы (жоспар нүктелері) бар куб түрі бар, ал 2³'¹ типті мүмкін БФТ жоспарлары осы кубтың жазықтықта проекцияларының түріне ие, яғни сегіз куб нүктесінен төрт нүкте таңдалады.(сур. 1, а).

Текшеден, сондай-ақ, бір жазықтықта жатқан сегіз нүктенің төрт нүктесін таңдап, 2³'¹ түріндегі БФТ жоспарын құруға болады.

Осылайша, бөлшек факторлық эксперимент деп ТФТ бөлігі болып табылатын және регрессия теңдеуінің коэффициенттерін есептеуге және эксперименттік деректердің көлемін қысқартуға мүмкіндік беретін тәжірибе жүйесі аталады.

Бөлшек факторлық эксперимент, ТФТ сияқты, полиномальді математикалық модельдерді (ММ) зерттеуге мүмкіндік береді.

Бағаланатын ММ коэффициенттерінің саны және экспериментте жүргізілетін тәжірибелер саны эксперименттің қанықтығы ұғымына байланысты. Егер жүргізілетін тәжірибелер саны бағаланатын коэффициенттер санынан асса, онда эксперимент қанықпаған деп аталады, егер тең болса қаныққан болады.

Процестің математикалық сипаттамасын табу үшін ТФТ белгілі бір бөліктері қолданылады: 1/2; 1/4; 1/8; 1/16 және т. б. Бұл тәжірибе жүйелері бөлшек репликалар деп аталады, ал ДФЭ әдісі — бөлшек репликалар әдісі. PFE 24 типті ықтимал бөлшек репликалар 1 – кестеде ұсынылған.

Төрт-факторлы жоспарлау үшін сегіз тәжірибенің 2⁴'¹ түріндегі БФТ матрицасы толық факторлы эксперименттен 2⁴, ал бес факторлы жоспарлау үшін - төрттен 2⁵ — тен репликамен бекітіледі. Соңғы жағдайда екі сызықтық әсер өзара әрекеттесу әсерлеріне теңестіріледі. Бөлшек репликаларды белгілеу үшін, онда р сызықтық әсерлері өзара әрекеттесу әсерлеріне теңестірілген, 2^к~^р белгісі енгізіледі, мұнда р — өзара әрекеттесу әсерлеріне теңестірілген сызықтық әсерлердің Саны, к-p ТФТ жоспарының бөлшек көрсеткіші болып табылады.

Осылайша, р-1 кезінде БФТ жоспарындағы тәжірибелер саны ТФТ жоспарынан екі есе аз, сондықтан мұндай жоспарлар ТФТ 2³ жоспарының жартылай бекітілуі деп аталады. Олар 2³'¹ түрінде жазылады.

Р = 2 кезінде тәжірибе саны төрт есе қысқарады және мұндай жоспарлар "ширек-реплика"деп аталады. Мысалы, ТФТ 2⁵ жоспарының 32 тәжірибесі бар, ал БФТ жоспарында ширек түрінде- 2⁵'² деп жазылған реплика, тәжірибелер саны сегізге дейін қысқарады.

Р = 3 кезінде БФТ 2⁶'³ үшін тәжірибе саны 64-тен 8-ге дейін қысқарады.

Р бөлшектілігін таңдау кезінде тәжірибе саны (2^к'^р) теңдеу мүшелерінің санынан көп болуы тиіс (п + 1), яғни шарт сақталуы тиіс.

2^к типті PFE - ден ықтимал бөлшек репликалар

Эксперименттер санын қысқарту әдісін жалпы ереже түрінде тұжырымдауға болады. Тәжірибе санын қысқарту үшін экспериментке қосымша енгізілетін фактор ескерілмейтін өзара әрекеттесуге сәйкес келетін матрицаның векторы-бағаны ретінде өзгеруі керек. Содан кейін жаңа фактор деңгейлерін өзгерту осы вектор-баған белгілерімен анықталады.

Қосымша фактор үшін таңдалған өзара іс-қимыл (жұмыс) генерациялаушы арақатынас немесе жоспар генераторы деп аталады (себебі қосымша фактор үшін жоспарлау матрицасындағы түрлену деңгейін ауыстыру ережесін анықтайды). 2^к'^р типті БФТ р генераторлары болады.